图---生成树与最小生成树

今天在做题的时候遇到一个问题，如何根据图的邻接表来画出DFS生成树和BFS生成树，有两年的真题中涉及到这个问题，在以前的学习中没注意过此问题，由于严奶奶的书上也只是一带而过，所以对它的理解也不深刻，作为基础的知识应该掌握，因此从网上查阅了一些资料，针对这个问题做如下总结，由于提到生成树自然会想到还有一种最小生成树，顺便把生成最小生成树的方法也总结一下，做出更好的区分，给需要的同学提供一个方便：

一．生成树

1.      生成树：是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有n-1条边。

2.      DFS生成树：由深度优先搜索遍历得到的生成树，称为深度优先生成树。

3.      BFS生成树：由广度优先搜索遍历得到的生成树，称为广度优先生成树。

例1：无向图G7的两种生成树（从顶点1开始）：

说明：使用不同的遍历图的方法，可以得到不同的生成树；从不同的顶点出发，也可能得到不同的生成树。

 例2：画出下图的生成树

1）邻接表：

要会根据图的邻接表画出DFS,BFS生成树。

2）DFS生成树：                                  3）BFS生成树：

                                    

/*------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------*/

二．最小生成树（MST：Minimum cost SpanningTree）

1.      最小生成树：n个顶点的生成树很多，最小生成树就需要从这很多树中选一棵代价最小的生成树（即该树各边的代价之和最小）。

2.      构造最小生成树的准则

1）  必须只使用该网络中的边来构造最小生成树；

2）  必须使用且仅使用n-1条边来联络网络中的n个顶点；

3）  不能使用产生回路的边。

3.       两种方法：Prime, Kruskal

//严奶奶书上是用表格的形式列出来最小生成树的过程，我觉得那样做挺麻烦的，在下面详细过程之后我描述了一种画线的方法，这种方法来的更容易一些。

1)       Prime

i	1	2	3	4	5	6
Closest[i]	1	1	1	1	1	1
Lowcost[i]	0	6	1	5	∞	∞

 (b)

（Closest[i]用于存放顶点序号，Lowcost[i]存放权值）

   

i	1	2	3	4	5	6
Closest[i]	1	3	1	1	3	3
Lowcost[i]	0	5	0	5	5	4

(c)

i	1	2	3	4	5	6
Closest[i]	1	3	1	6	3	3
Lowcost[i]	0	5	0	2	5	0

(d)

 

i	1	2	3	4	5	6
Closest[i]	1	3	1	6	3	3
Lowcost[i]	0	5	0	0	5	0

(e)

i	1	2	3	4	5	6
Closest[i]	1	3	1	6	2	3
Lowcost[i]	0	0	0	0	3	0

(f)

 

 

i	1	2	3	4	5	6
Closest[i]	1	3	1	6	2	3
Lowcost[i]	0	0	0	0	0	0

                                                     (g)

画线方法

根据每条画的线所穿过的线段就可以找到最小的权值边，比如从顶点1开始，然后画一条黑线，黑线穿过的线段对应的权值分别为6，1，5，可见1是最小的，所以连接顶点1与顶点3，然后把顶点1顶点3作为一个整体，画出红色线条，红色线穿过的线段有6，5，6，4，5，5，最小的是4，所以连接顶点3和顶点6，然后把顶点1顶点3顶点6作为一个整体，按照这种方法，依次类推，便可得到最小生成树。

2)      Kruskal

Kruskal的思想我觉得比Prime要容易得多，利用上面的无向图，使用Kruskal生成最小生成树的过程：