数据结构笔记（算法时间复杂度计算）

时间复杂度
一个语句的频度是指该语句在算法中被重复执行的次数。算法中所有语句的频度之和记作 T(n) ，它是算法的问题规模 n 的函数，时间复杂度主要分析 T(n) 的数量级。算法中基本运算（最深层循环内的语句）的频度与 T(n) 同数量级，因此通常采用算法中基本运算的频度 f(n) 来分析算法的时间复杂度。因此，算法的时间复杂度可以记为：
$$T(n)=O(f(n))$$
O 的含义是 T(n) 的数量级，其数学定义是：T(n) 和 f(n) 是定义在正整数集合上的两个函数，则存在正常数C和 n₀ ,使得当n >= n₀ 时，都满足 0<=T(n)<=Cf(n)

结合以上描述，从数学意义上讲，T(n) 是函数 f(n) 的下界。

对于如下程序段：

int a = n;
while (a>0){
printf("基本运算的一次执行")；
a--;
}
return n;

当 n 的值大于0的时候，基本运算 “a–” 会执行 n 次，直到 n = 0 ;这时a–执行的频度 f(n) = n ;
当 n 的值小于或等于 0 的时候，基本运算 “a–” 会执行 0 次，这时 a-- 执行的频度为 f(n) = 0;

可以看到，程序基本运算的执行次数，除了和程序本身有关外，还和输入的 n 的值有关系
所以，一个程序在执行的时候，根据基本运算被执行的次数，可以将复杂度分为最坏的时间复杂度，平均的时间复杂度，最好的时间复杂度。

在分析一个程序的执行效率的时候，一般都是考虑最坏情况下的时间复杂度。还是以上面的程序段作为例子，那么该程序段的时间复杂度为 T(n) = n ;

加法规则：
$$T(n)=T_{1}n+T_2(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n))$$
乘法规则：
$$T(n)=T_1(n)\ast T_2(n)=O(f(n)\ast O(g(n))=O(f(n)\ast g(n))$$
常见的渐进时间复杂度比较：
$$O(1)<O(lo{g}_{2}n)<O(n)<O(nlo{g}_{2}n)<O(n^2)<O(n^3)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$$