统计学中的自由度

自由度

自由度的概念

在统计学中，自由度(degree of freedom, df)指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本数量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。

统计学上，自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数，称为该统计量的自由度。一般来说，自由度等于独立变量减掉其衍生量数。举例来说，变异数的定义是样本减平均值(一个由样本决定的衍生量)，因此对N个随机样本而言，其自由度为N-1。

所谓自由度是指问题解的维数，自由度同时也决定了边界条件的维数。在固体力学中，最多自由度可达6个，三个线位移和三个角位移，对应的应力边界条件是线力和力矩，一般结构是以上6这个自由度的子集。

例如平面应力应变结构为；平板结构为；三维实体结构为；平面框架结构为；三维框架结构为全部6个等。

由单元刚度矩阵到结构刚度矩阵，单元与单元之间仅通过节点进行作用联系，变形协调条件，即在相互连接的公共节点处，各单元的节点位移必须相等。力的平衡条件，即在相互连接的公共节点处，各单元对节点的作用力与作用，在该节点的外载荷必须相等。

 

用python实现基于凝固度和自由度的新词发现

这篇就来讨论发现新词的一种算法。

 

n-gram加词频

最原始的新词算法莫过于n-gram加词频了。简单来说就是，从大量语料中抽取连续的字的组合片段，这些字组合片段最多包含n个字，同时统计每个字组合的频率，按照词频并设置一个阈值来判断一个字组合片段是否为词汇。 该方法简单处理速度快，它的缺点也很明显，就是会把一些不是词汇但出现频率很高的字组合也当成词了。

 

凝固度和自由度

这个算法在文章《互联网时代的社会语言学：基于SNS的文本数据挖掘》 里有详细的阐述。 凝固度就是一个字组合片段里面字与字之间的紧密程度。比如“琉璃”、“榴莲”这样的词的凝固度就非常高，而“华为”、“组合”这样的词的凝固度就比较低。 自由度就是一个字组合片段能独立自由运用的程度。比如“巧克力”里面的“巧克”的凝固度就很高，和“巧克力”一样高，但是它自由运用的程度几乎为零，所以“巧克”不能单独成词。

 

Python实现

根据以上阐述，算法实现的步骤如下：

1. n-gram统计字组合的频率

如果文本量很小，可以直接用Python的dict来统计n-gram及其频率。一段文本n-gram出来的字组合的大小大约是原始文本的(1+n)*n/2倍，字组合的数量也非常惊人。比如，“中华人民共和国”的首字n-gram是（n=5）：

中
中华
中华人
中华人民
中华人民共

n-gram统计字组合频率的同时还要统计字组合的左右邻居，这个用来计算自由度。 如果文本量再大一些，Python的dict经常会碰到最好使用trie tree这样的数据结构。双数组Trie Tree有很多非常好的开源实现，比如，cedar、darts等等。Trie Tree使用的好处是，它天然包含了字组合的右邻居信息，因为这个数据结构一般是前缀树。要统计左邻居信息时，只需要把字组合倒序放入另外一个Trie Tree即可。

使用cedar Trie Tree的时候，5-gram统计30M的文本大约使用6GB左右的内存。 如果文本量更大，这就要借助硬盘了，可以使用leveldb这样的key-value数据库来实现。实验下来，trie tree统计30M的文本用几十秒，而同样的用leveldb统计却要6个多小时！！！应该还有比leveldb更合适的数据库来做这件事情，有时间再说。 当然，为了发现新词，几十MB的文本文本足够了。

 

2. 计算字组合的凝固度;

有了上述的统计结果，计算每个字组合的凝固度就比较简单了。 首先，把字组合切分成不同的组合对，比如’abcd’可以拆成(‘a’, ‘bcd’), (‘ab’, ‘cd’), (‘abc’, ‘d’), 然后，计算每个组合对的凝固度：D(s1, s2) = P(s1s2) / (P(s1) * P(s2)) 最后，取这些组合对凝固度中最小的那个为整个字组合的凝固度。

3. 计算字组合的自由度;

分别计算它的左邻居信息熵和右邻居信息熵，取其中较小的为该组合的自由度。

4. 阈值的选择

整个过程涉及到三个阈值的选择： 组合的词频：频率很低的组合成词的可能性很小 组合的凝固度：凝固度越大成词的可能性越大 组合的自由度：自由度越大成词的可能性越大 经验值：30M文本，词频>200, 凝固度>10(n-1), 自由度>1.5 小窍门：词频>30, 凝固度>20(n-1)也能发现很多低频的词汇。

卡方检验中自由度的计算

 

 

 

给定一组数据，我们来计算不同的统计量，看看自由度的变化。这些数据分别为 1 2 4 6 8. 5个数。

先来求平均值，这几个数据都可以任意变化成其它数据，而我们仍然可以对它们求平均值，它们的平均值也跟着变化。这时自由度为5，也就是说有几个数据自由度就是几。

1）当我们来计算方差时，我们要先计算平均值，下一步再计算方差，计算完平均值后，我们还可以变更这些数据，但是要保证平均值不变化，如果变化，我们需要重新计算均值。

2）而要保证均值不变，那么原来这几个数字中只有4个数字是可以自由变化的，而另外一个数字只能是=均值×5-其它四个数字之和。

3）这个数字的值由其它数字确定了，自己被逼无奈，只能接受这个值，没有自由变化的可能，这一组数字当中，有一个数字没有了自由，因此自由度要减去1.

凡是计算公式中用到一个均值都要减去1.

大家也可以自己查找方差分析中，几个均方的计算公式以及对应的自由度。

1）总体均方，自由度为全部个体数减去1，因为用了总体均数这一个均值； 2）组间均方，自由度为组数减去1.因为计算的是组之间的均值，而且用了这一个组间均值。 3）误差均方，自由度为全部个体数减去组数，计算均值时用到了全部个体值，同时计算了每个组的均值并且使用了这些均值。

卡方检验的自由度： 1）如果是独立性检验，那么自由度就等于（a-1）*（b-1）,a b表示这两个检验条件的对应的分类数。

比如《问卷与量表数据分析》课程里面的性别和是否购买之间的独立性检验，自由度就等于（2-1）*（2-1）=1。这里可以理解为有两个约束条件，即性别和是否购买这两个变量，这两个变量约束的方向都是自己那一方面的，所以要在自己的类别数目后面减去1，而不是总的类别数减去总的约束条件数目。

2）适合性检验，类别数减去1。此处相当于约束条件只有一个。

卡方检验只有在用笔算查表时使用自由度，软件计算不用担心这个问题，但是最好明白自由度代表着总的变量数目减去约束条件的数目。

总之大家注意到计算自由度时，要考虑限制条件的数目就可以了

Chi-Square检验 代码

f_obs = np.array([contingency_table.iloc[0][0:6].values,
                  contingency_table.iloc[1][0:6].values])
f_obs
​
from scipy import stats
stats.chi2_contingency(f_obs)[0:3]
Out[38]: (2287.190943926107, 0.0, 5)

p值= ~0，自由度= 5。

结论

如果p值<0.05，我们可以拒绝零假设。 “性别”和“每周工作时间”之间肯定存在某种关系。 我们不知道这种关系是什么，但我们知道这两个变量并不是彼此独立的。