多目标优化系列（二）SMS-EMOA

SMS-EMOA: Multiobjective selection based on dominated hypervolume
原文：http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377221706005443

摘要

超体积是用于比较多目标优化算法（EMOA）结果经常出现的测度。基于超体积最大化，该文提出了一种稳态的EMOA算法。

引言

定义：满足以下优势关系的最小元素被称为Pareto最优。

正文

SMS-EMOA算法是用有限的点来尽可能的覆盖大的超体积。该文针对的问题如下：

• 用非主导排序算法作为排序标准
• 将超体积思想作为选择标准应用于丢弃个体。

1. SMS-EMOA的详细信息

下图是SMS-EMOA算法框架。

其中最开始的缩减算法如下图所示。其中{Q\{r}}表示Q（原始集合）去除掉集合r后的集合，fast-nondominated-sort借鉴的是NAGA-Ⅱ的算法，r代表有最小贡献度的集合，贡献值由第二图得到。某点的贡献值的计算方式为该支配面的贡献值-（减去） 去除掉该点后该支配面的贡献值

其中

有优化算法的目的尽可能的使进化后新一代的贡献值大于进化前的新一代的贡献值。为了将该描述解释清楚，我准备提前引入超平面来帮助大家理解。

在上图中，我们定义一个（最右上角）的虚拟点S，该图中，每点的贡献值由该点与虚拟点形成的面积表示，我们可以清楚的看到，A点比D点和E点有更大的贡献值。假设D、E、F为第二非支配面，我们要去除的是减少该点的贡献值（即面积），使得该支配面所有点的总面积减少量最小。比如D点的面积最小，我们就减去E。那进化的目的就是让进化后的新一代比之前的一代有更大的面积，就比如D点进化到K点，面积增加，K点比D点更优。
（1）. 稳态选择
由于超体积的计算量很大，该文使用稳态选择方案，每一代创建一个点，删除一个。所以选择算子至少计算u+1个度量。
（2）.种群数量
SMS-EMOA算法保持非主导和主导的个体一个稳定的数量。

2. SMS-EMOA的选择机制

定义：如下图所示，d（s，p（t））表示支配s的集合（也可以当作数量）。

算法3，修改了缩减过程，d 在有主导解的情况下，y用在都不互相主导的情况下。

从下图可以看出，y8的d值为4，因为y8被y2，y3，y4，y5支配，y9只被y5支配，所以从这来看，y8更有可能被缩减掉。
假设y1到y6都不存在，那么该图则只剩下一个非支配面，如果要选择3个点，用d的方法显然不适用，因为每个点都不支配其他点，所以，该文在此情况下采用第二种方式。定义如下公式代表贡献值，则y8和y9的贡献值如图中的蓝色区域所示，谁的面积小代表谁的贡献度小，理所应当被删除。当然，s序列是排序后（f1升序+f2降序）的序列。