【论文笔记】Multi-Task Learning as a Bargaining Game

Abstract

本文将多任务学习中的梯度组合步骤视为一种讨价还价式博弈(bargaining game)，通过游戏，各个任务协商出共识梯度更新方向。
在一定条件下，这种问题具有唯一解(Nash Bargaining Solution)，可以作为多任务学习中的一种原则方法。
本文提出Nash-MTL，推导了其收敛性的理论保证。

1 Introduction

大部分MTL优化算法遵循一个通用方案。

• 计算所有任务的梯度$g_1,g_2,\cdots ,g_K$
• 使用某种聚合算法$\mathcal{A}$，聚合梯度，得到联合梯度$\Delta =\mathcal{A}(g_1,\cdots ,g_K)$。最后采用单梯度优化算法更新模型参数。
  目前还没有原则性的、公理化的聚合方法。

本文将梯度组合视为一个合作讨价还价式博弈(cooperative bargaining game)来解决，每个玩家代表多任务中的一个任务，每个玩家的收益(utility)是梯度，所有玩家通过协商找到彼此达成一致的方向。
这个情景让讨价还价式博弈可以使用，从公理化的角度分析该问题。

在一定的公理下，讨价还价式博弈有唯一的解，称为纳什讨价还价解(Nash Bargaining Solution)，这个解式最公平的，是最优的。

贡献：

• 本文刻画了MTL的纳什讨价还价解，推导了一个有效的算法逼近这个值。
• 从理论分析了本文方法，在凸和非凸的情况下建立了收敛性保证。
• 实验表明Nash-MTL取得了最先进的效果。

2 Background

2.1 Pareto Optimality

MTL优化问题是多目标优化问题(multiple-objective optimization, MOO)的一个特例。
给定目标函数${\ell }_1,\cdots ,{\ell }_K$，一个解$x$的效果可以通过目标值$({\ell }_1(x),\cdots ,{\ell }_K(x))$向量来表示。
MOO的主要性质是：由于向量上不存在自然的线性排序，因此并不总是可以比较解，因此没有明确的最优值。

我们说一个解$x$优于$x^{\prime }$，当且仅当$x$在一个或多个任务上更好，而在其他任务上不差。
没有其他解更优的解，称为Pareto optimal，所有这样的解的集合成为Pareto front。在没有额外假设或用户偏好先验的情况下，无法从Pareto optimal中挑出最优解。

对于非凸问题，如果某点在包含它的某个开集内是Pareto最优的，则定义该点为局部Pareto最优。
如果某点存在梯度的凸组合，且梯度为0，则该点为Pareto stationary。Pareto stationary是Pareto optimal的必要条件。

2.2 Nash Bargaining Solution

在一个讨价还价博弈问题中，有$K$个玩家，每个玩家的收益函数$u_i:A\cup \{D\}\to \mathbb{R}$，这个是每个玩家都希望最大化的。 其中$A$是可能达成的协议的集合，$D$是不能达成协议的谈判破裂点，如果玩家没能达成协议，则玩家会默认$D$。

定义可能的收益集$U=\{(u_1(x),\cdots ,u_K(x)):x\in A\subset {\mathbb{R}}^K$，$d=(u_1(D),\cdots ,u_K(D))$。
假设$U$是凸紧的，$U$中存在一个点严格优于$d$，称为存在$u\in U$，使得$\forall i:u_i>d_i$。

对于这样的收益集$U$，两人讨价还价问题存在唯一解，该解满足以下性质或公理：Pareto optimality，对称性，无关方案独立性，仿射变换不变性。

Axiom 2.1 Pareto optimality

被认同的方案不能劣于其他方案。

Axiom 2.2 Symmetry

交换玩家的顺序后，最优解应当不变。

Axiom 2.3 Independence of irrelevant alternatives(IIA)

将收益集$U$扩大到$\tilde{U}⊋U$，解决方案在原始集合$U$中，$u^{\ast }\in U$，那么最优解将仍是$u^{\ast }$。

Axiom 2.4 Invariance to affine transformation

将收益函数$u_i(x)$变换成${\tilde{u}}_i(x)=c_i\cdot u_i(x)+b_i$，$c_i>0$，如果原始最优解的收益为$(y_1,\cdots ,y_k)$，那么变换后的最优解是$(c_1{y}_1+b_1,\cdots ,c_k{y}_k+b_k)$。

满足以上公理的唯一点被称为Nash bargaining solution，为
$$u\ast =\arg \underset{u\in U}{\max }\sum _i\log (u_i-d_i)s.t.\forall i:u_i>d_i\text{\hspace{1em}(1)}$$

3 Method

3.1 Nash Bargaining Multi-Task Learning

给定一个MTL优化问题和模型参数$\theta$，目标是在以零点为中心，半径为$ϵ$的球$B_{ϵ}$内找到一个更新向量$\Delta \theta$。
在讨价还价博弈情景下，可达成的协议为$B_{ϵ}$集合，谈判破裂点在零点（原参数$\theta$不更新）。
定义每个玩家的收益函数为$u_i(\Delta \theta )=g_i^T\Delta \theta$，其中$g_i$是模型参数为$\theta$时任务$i$的损失梯度。由于收益集是凸紧的，且收益是线性的，可以得出：可能的收益集合也是凸紧的。

基于主要假设，如果$\theta$不是Pareto stationary，那么梯度是线性无关的。
在此猜想下，谈判崩裂点$\Delta \theta =0$是列于$B_{ϵ}$中其他的解的。
如果$\theta$不在Pareto front中，那么Nash bargaining solution具有如下形式：

Claim 3.1

令$G$为一个$d\times K$的矩阵，该矩阵第$i$列为梯度$g_i$。
$\arg {\max }_{\Delta \theta \in Bϵ}{\sum }_i\log (\Delta {\theta }^T{g}_i)$的解是${\sum }_i{\alpha }_i{g}_i$，其中$\alpha \in {\mathbb{R}}_{+}^K$是$G^{T}G\alpha =1/\alpha$的解，$1/\alpha$是逐元素倒数操作。

proof

该目标函数的导数是${\sum }_{i=1}^K\frac{1}{\Delta {\theta }^T{g}_i}{g}_i$。对于所有$\Delta \theta$向量，$\forall i:\Delta {\theta }^T{g}_i>0$，每个任务的收益函数以$\Delta \theta$的范数单调递增，显然$B_{ϵ}$球面上的解肯定是最优的。因此，最优点上的梯度${\sum }_{i=1}^K\frac{1}{\Delta {\theta }^T{g}_i}{g}_i$一定是径向的，如${\sum }_{i=1}^K\frac{1}{\Delta {\theta }^T{g}_i}{g}_i=\lambda \Delta \theta$。

由于梯度之间互相独立，有$\Delta \theta ={\sum }_i{\alpha }_i{g}_i$，$\forall i:\frac{1}{\Delta {\theta }^T{g}_i}=\lambda {\alpha }_i$。（向量之间线性无关）
下降方向内积为正，因此可以得到$\lambda >0$。设定$\lambda =1$来确定$\Delta \theta$（范数可能更大）的方向。

现在找到bargaining solution的问题已经简化为找到一个$\alpha \in {\mathbb{R}}^K$，${\alpha }_i>0$，使得$\forall i:\Delta {\theta }^T{g}_i={\sum }_j{\alpha }_j{g}_j^T{g}_i=\frac{1}{{\alpha }_i}$，这等价于$G^{T}G\alpha =1/\alpha$，其中$1/\alpha$是逐元素取倒数。

现在为该解提供一些直观的说明。
首先，如果所有的$g_i$是互相正交的，则有${\alpha }_i=1/||g_i||$，$\Delta \theta =\sum \frac{g_i}{||g_i||}$。这是明显的尺度不变解。
如果非相互正交，可得：
$${\alpha }_i||g_i|{|}^2+\sum _{j\ne i}{\alpha }_j{g}_j^T{g}_i=\frac{1}{{\alpha }_i}\text{\hspace{1em}(2)}$$
${\sum }_{j\ne i}{\alpha }_j{g}_j^T{g}_i=({\sum }_{j\ne i}{\alpha }_j{g}_j{)}^T{g}_i$可以被认为是任务$i$对其他任务的影响。

• 如果这个值是正值，说明存在正向影响，其他任务的梯度有助于第$i$项任务。
• 如果这个值是负值，说明存在负面影响，其他任务的梯度有碍于第$i$项任务。

当该值为负值时，Eq.2等式左边变小，需要通过${\alpha }_i$变大来补偿。
当该值为正值时，${\alpha }_i$变小。

3.2 Solving $G^{T}G\alpha =1/\alpha$

本节描述如何通过一系列凸优化问题有效逼近$G^{T}G\alpha =1/\alpha$的最优解。

定义${\beta }_i(\alpha )=g_i^{T}G\alpha$，希望找到一个$\alpha$使得$\forall i,{\alpha }_i=1/{\beta }_i$，或等价于$\log ({\alpha }_i)+\log ({\beta }_i({\alpha }_i))=0$。
令${\phi }_i(\alpha )=\log ({\alpha }_i)+\log ({\beta }_i(\alpha ))$，$\phi (\alpha )={\sum }_i{\phi }_i(\alpha )$，目标是找到非负$\alpha$使得$\forall i,{\phi }_i(\alpha )=0$。于是优化问题变成：
$$\underset{\alpha }{\min }\sum _i{\phi }_i(\alpha ),s.t.\forall i,-{\phi }_i(\alpha )\le 0,{\alpha }_i>0\text{\hspace{1em}(3)}$$
约束是凸的且线性的，但是目标函数是凹的。首先尝试解决下面的凸目标函数：
$$\underset{\alpha }{\min }\sum _i{\beta }_i(\alpha ),s.t.\forall i,-{\phi }_i(\alpha )\le 0,{\alpha }_i>0\text{\hspace{1em}(4)}$$
这里最小化${\beta }_i=g_i^{T}G\alpha \ge 1/{\alpha }_i$约束下的${\sum }_i{\beta }_i$。虽然这个目标函数并不等价于原始问题，但却非常有效。很多情况下，得到的$\phi (\alpha )=0$，符合需求。

为了进一步近似，考虑下面的问题：
$$\underset{\alpha }{\min }\sum _i{\beta }_i(\alpha )+\phi (\alpha ),s.t.\forall i,-{\phi }_i(\alpha )\le 0,{\alpha }_i>0\text{\hspace{1em}(5)}$$
在目标函数中加入$\phi (\alpha )$可以进一步减小$\phi (\alpha )$，虽然这可能导致问题是非凸的。但此时解可以被迭代地改进，通过将凹项$\phi (\alpha )$替换为其一阶近似${\tilde{\phi }}_{\tau }(\alpha )=\phi ({\alpha }^{(\tau )})+\nabla \phi ({\alpha }^{(\tau )}{)}^T(\alpha -{\alpha }^{(\tau )})$（泰勒展开）。其中，${\alpha }^{(\tau )}$是第$\tau$轮迭代的解。这里只替代目标函数中的$\phi$，不替代约束中的。由于没有改变约束，对任意的$\tau$，${\alpha }^{(\tau )}$总是满足原问题的约束。

最后，下面的命题表明，原始目标随$\tau$单调递减：

Proposition 3.2

在Eq.5的优化问题中，将目标函数表示为$\phi (\alpha )={\sum }_i{\beta }_i(\alpha )+\phi (\alpha )$。于是对于所有$\tau >1$，$\phi ({\alpha }^{(\tau +1)})\le \phi ({\alpha }^{\tau })$。

3.3 Practical Speedup

许多主流MTL方法的缺点是需要所有任务梯度来获取联合更新的方向。当任务数量$K$很大时，非常耗费计算资源。

实际操作中发现，使用特征级梯度作为共享参数的替代会显著降低本文方法的性能。
本文提议：每隔几次迭代，更新一次梯度权重${\alpha }^{(t)}$，而不是每次迭代。这种方法在维持原有效果的同时显著降低运行时间。

Algorithm 1 Nash-MTL

输入：初始参数向量${\theta }^{(0)}$，可微损失函数$\{{\ell }_i{\}}_{i=1}^K$，学习率$\eta$。

对于每一轮迭代$t=1,\cdots ,T$：

计算任务梯度$g_i^{(t)}={\nabla }_{{\theta }^{(t-1)}}{\ell }_i$
将矩阵$G^{(t)}$的每一列设置为$g_i^{(t)}$
通过$(G^{(t)}{)}^{T}G(t)\alpha =1/\alpha$获得${\alpha }^{(t)}$
更新参数${\theta }^{(t)}={\theta }^{(t)}-\eta G^{(t)}{\alpha }^{(t)}$

返回：${\theta }^{(T)}$

5 Analysis

现在分析本文方法在凸和非凸情况下的收敛性。
即使是单任务，非凸优化也可能只收敛到一个稳定点，因此需要证明本文方法可以收敛到Pareto stationary点，即梯度的某个凸组合为0的点。如前所述，仍然假设在非Pareto stationary点时，梯度之间互相独立。这个假设排除了如两个相同任务的边缘情况。

通过将Assumption 5.1中的Pareto stationary替换成局部Pareto optimality，可以证明算法收敛到局部Pareto optimal point。
这一假设具有重要意义，意味着可以避免任意特定任务中的局部最大值和鞍点。

Assumption 5.1

对于由本文算法得到的序列$\{{\theta }^{(t)}{\}}_{t=1}^{\infty }$，集合中任意一点和任意极限处的梯度向量$g_1^{(t)},\cdots ,g_K^{(t)}$都是线性无关的，除非该点是Pareto stationary。

Assumption 5.2

假设所有损失函数都是可微的，有下界，并且所有的次级集合都是有界的。输入域是开放且凸的。

Assumption 5.3

假设所有损失函数都是光滑的：
$$||\nabla {\ell }_i(x)-\nabla {\ell }_i(y)||\le L||x-y||\text{\hspace{1em}(6)}$$

Theorem 5.4

令$\{{\theta }^{(t)}{\}}_{t=1}^{\infty }$为由${\theta }^{(t+1)}={\theta }^{(t)}-{\mu }^{(t)}\Delta {\theta }^{(t)}$生成的参数序列，$\Delta {\theta }^{(t)}={\sum }_{i=1}^K{\alpha }_i^{(t)}{g}_i^{(t)}$是Nash bargaining solution $(G^{(t)}{)}^T{G}^{(t)}{\alpha }^{(t)}=1/{\alpha }^{(t)}$的解。
设${\mu }^{(t)}={\min }_{i\in [K]}\frac{1}{LK{\alpha }_i^{(t)}}$。于是，序列$\{{\theta }^{(t)}{\}}_{t=1}^{\infty }$存在一个子序列收敛于Pareto stationary point ${\theta }^{\ast }$。进一步地，所有的损失函数$({\ell }_1({\theta }^{(t)}),\cdots ,{\ell }_K({\theta }^{(t)}))$也收敛到$({\ell }_1({\theta }^{\ast }(t)\ast ),\cdots ,{\ell }_K({\theta }^{\ast }(t)\ast ))$。