卷积与傅里叶变换简介

卷积

在一个线性移不变系统中, 卷积运算可以看做是该系统对输入信号 f(x,y) 的响应.用符号 ⊗ 表示卷积, 则有:

g=f⊗h

系统的输出响应 g 是输入信号 f 与系统函数 h 做卷积运算的结果. 那该如何做呢? 我们知道函数 f(x,y) 可以分解为无限的冲击函数乘以对应权值 f(ξ,η) 的加和, 对应的积分形式为:

f(x,y)=∫∞−∞∫∞−∞f(ξ,η)δ(x−ξ,y−η)dξdη(1)

而 f(ξ,η)δ(x−ξ,y−η) 可以看做是经过了 位移和 尺度变换的冲击函数. 那为什么要用到冲击函数呢? 这是因为冲击函数有个很好的性质, 它与系统函数 h 做卷积得到的还是系统函数本身:

∫∞−∞∫∞−∞δ(x−ξ,y−η)h(ξ,η)dξdη=h(x,y)

即 δ(x,y) 的响应是 h(x,y) ,对于线性移不变系统,满足:
f(ξ,η)δ(x−ξ,y−η) 的响应是 f(ξ,η)h(x−ξ,y−η) 我们由式 (1) 知道对 f(ξ,η)δ(x−ξ,y−η) 求积是输入信号 f(x,y) ,同理, 我们对 f(ξ,η)h(x−ξ,y−η) 求积便得到了响应 g(x,y) :

g(x,y)=∫∞−∞∫∞−∞f(ξ,η)h(x−ξ,y−η)dξdη(2)

注意式 (2) 对应的是 g=h⊗f 不过我们易证得卷积运算是满足交换律的.

傅里叶变换

还是从信号分解说起, 我们知道输入信号 f(x,y) 可以由无限冲击函数的加权和来表示, 其实它还有一种分解的方法:

f(x,y)=14π2∫∞−∞∫∞−∞F(u,v)e+i(ux+vy)dudv(3)

那么这种方法能否让我们更容易的求解系统响应呢?我们首先来看看当输入是 ei(ux+vy) 时, 系统的响应:

g(x,y)=∫∞−∞∫∞−∞e+i[u(x−ξ)+v(y−η)] h(ξ,η)dξdη=ei(ux+vy)∫∞−∞∫∞−∞e−i(uξ+vη)h(ξ,η)dξdηH(u,v)

从上面的式子可以看出, 若输入为 f(x,y)=ei(ux+vy) , 则系统的响应为 g(x,y)=H(u,v)f(x,y) 而从式 (3) 可以看出, 对于任意输入信号都可以表示为 ei(ux+vy) 加权和的形式.因此由系统的线性移不变性质, 我们可以得到系统的响应为:

g(x,y)=14π2∫∞−∞∫∞−∞H(u,v)F(u,v)e+i(ux+vy)dudv

这正好对应了将系统响应从空间域 g(x,y) 变为频率域 G(x,y) ,即

G(x,y)=H(u,v)F(u,v)

小结

我们从上面的分析中可以看出, 系统响应在空间域中可以看做是输入信号与系统函数做卷积得到,即:

g(x,y)=f(x,y)⊗h(x,y)

而在频率域则可以看做是输入信号与系统函数做乘积得到, 即:

G(x,y)=H(u,v)F(u,v)

把信号从空间域变到频率域称为 傅里叶变换:

F(u,v)=∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)e−i(ux+vy)dudv

对应的, 把信号从频率域变到空间域称为 傅里叶逆变换:

f(x,y)=14π2∫∞−∞∫∞−∞F(u,v)e+i(ux+vy)dudv