随机变量及其分布？
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离散型随机变量及其分布
（0-1）分布
设随机变量X只可能取0和1的两个值，他的分布律是
,
则称 X 服从以p为参数的（0-1）分布或者两点分布。
分布律：
| X | 0 | 1 |
| Pk | 1-p | p |
伯努利（Bernoulli）实验、二项分布
设实验 E 只有两个可能结果：A和
，则称 E 为伯努利实验。
设P(A) = p (0
这里“重复”是指在每次实验中 P(A) = p 保持不变：“独立”是指各次实验的结果互不影响，即若以 
记第 i 次实验的结果， 为 A 或 ，i = 1,2，·····，n。“独立”是指
分布律：假设在前 k 次实验中 A 发生，而后 n-k 次实验中 A 不发生的概率为 
，这种指定的方式共用
种。故在 n 次实验中 A 发生 k 次的概率为
，记 q = 1-p，即有
，看= 0， 1， 2，····，n；
显然
由于
刚好是二项式 
的展开式中出现 
的那一项。我们也称随机变量 X 服从参数为 n, p 的二项分布。
特别的：当 n=1 时，二项分布式化为 
, k = 0, 1。
泊松分布（描述某段时间内，事件具体的发生概率）
在实际应用过程中，很多时间具有固定的频率。
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某医院平均每小时出生3个婴儿
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某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数
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某公司平均每10分钟接到1个电话
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某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
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某网站平均每分钟有2次访问
上面这些事件的特点是，我们可以预估事件发生的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知每年发生的交通事故，那么下一年会发生多少起呢？这个没法知道。
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连续性变量分布
均匀分布
指数分布
指数分布是事件的时间间隔的概率。下面这些都属于指数分布。
婴儿出生的时间间隔
来电的时间间隔
奶粉销售的时间间隔
网站访问的时间间隔
指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。
反过来，事件在时间 t 之内发生的概率（至少出生一个的概率），就是1减去上面的值。
接下来15分钟，会有婴儿出生的概率是52.76%。
接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是24.92%。
指数分布的图形大概是下面的样子。
可以看到，随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生3个婴儿，上面已经算过了，下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%，那么间隔3小时、间隔4小时的概率，是不是更接近于0？
指数分布的概率密度为：
式中：x是给定的时间；λ为单位时间事件发生的次数；e＝2.71828。
指数分布概率密度曲线如下图：
指数分布具有以下特征：
（1）随机变量X的取值范围是从0到无穷；
（2）极大值在x＝0处，即f(x)＝λ；
（3）函数为右偏，且随着x的增大，曲线稳步递减；
（4）随机变量的期望值和方差为µ＝1/λ，σ2＝1/λ2。
通过对概率密度函数的积分，就可以得到相应的概率，其表达式有两种
P(X≥x)＝e-λx
P(X≤x)＝1－e-λx
例：某电视机生产厂生产的电视机平均10年出现大的故障，且故障发生的次数服从泊松分布。
问（1）该电视机使用15年后还没有出现大故障的比例；（2）如果厂家想提供大故障免费维修的质量担保，但不能超过全部产量的20%，试确定提供担保的年数。
解：
（1）设X为电视机出现大故障的时间。已知µ＝10年，则λ＝1/µ＝0.1，于是，P(X≥x)＝e-λx＝e-0.1*15≈0.223。则15年后，没有出现大故障的电视机约占22.3%。
（2）问题要求比例不超过20%，这是求X的右侧概率面积，现在根据公式确定适当的X值。
| 电视机各年累计出现的故障比例 |
|
| 担保年数X |
累计概率P(X≤x)＝1－e-λx |
| 1 |
0.095 |
| 2 |
0.181 |
| 3 |
0.259 |
从表中可以看到：担保2年时，出现大故障的比例是18.1%，不超过20%。担保3年时，出现大故障的比例为25.9%，已经超过20%。所以，厂家应以2年为担保期。
高斯分布，正态分布
透彻理解高斯分布
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参考文献
- 泊松分布 & 指数分布