题目来自JZYZOJ。找了很多地方都没有找到题，还是一道非常优秀的二进制优化多重背包的问题
描述 Description
在《Harry Potter and the Deathly Hallows》中，Harry Potter他们一起逃亡，现在有许多的东西要放到赫敏的包里面，但是包的大小有限，所以我们只能够在里面放入非常重要的物品，现在给出该种物品的数量、体积、价值的数值，希望你能够算出怎样能使背包的价值最大的组合方式，并且输出这个数值，赫敏会非常地感谢你。
输入格式 Input Format
第\(1\)行有\(2\)个整数，物品种数\(n\)和背包装载体积\(v\)。
第\(2\)行到\(n+1\)行每行\(3\)个整数，为第\(i\)种物品的数量\(m\)、体积\(w\)、价值\(s\)。
输出格式 Output Format
仅包含一个整数，即为能拿到的最大的物品价值总和。
样例输入 Sample Input
2 10
3 4 3
2 2 5样例输出 Sample Output
13注释 Hint
对于$ 100% $的数据
$1 \le v \le 5000 $
$1 \le n \le 5000 $
$1 \le m \le 5000 $
$1 \le w \le 5000 $
$1 \le s \le 5000 $
如果数据范围比较小的话可以直接多重背包但这道题数据很大自然要用到二进制优化
对于多重背包，枚举每一种物品的每一种数量自然是多次重复的运算
我们已知\(1\) , \(2\) , \(4\) , \(8\) , \(16\) , \(32……\),\(2^n\)可以组成\(1\)到\(2^{n+1}-1\)之内的任意一个数字
所以我们对于给定\(n\),把他分解成\(2^x\)的数，剩下的数进行补齐，即可转换成01背包做
转换代码
for(register int i = 1;i <= n;i++)
{
for(register int j = 1;j <= m[i];j <<= 1)
{
tw[++tot] = j*w[i];
tv[tot] = j*v[i];
m[i] -= j;
}
if(m[i])//补齐剩下的数
{
tw[++tot] = m[i]*w[i];
tv[tot] = m[i]*v[i];
}
}另外新的数组\(tw,tv\)要开成原数组的\(max(x)\)倍
coding
#include
using namespace std;
const int N = 5005;
int n,V,tot = 0,v[N] = {},m[N] = {},w[N] = {}, tw[N*20] = {},tv[N*20] = {},f[N] = {};
inline int read()
{
register int x = 0;
register char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
while(ch >= '0' && ch <= '9')
{
x = (x<<3) + (x<<1) + ch-'0';
ch = getchar();
}
return x;
}
inline void optimize()
{
for(register int i = 1;i <= n;i++)
{
for(register int j = 1;j <= m[i];j <<= 1)
{
tw[++tot] = j*w[i];
tv[tot] = j*v[i];
m[i] -= j;
}
if(m[i])
{
tw[++tot] = m[i]*w[i];
tv[tot] = m[i]*v[i];
}
}
}
int main()
{
n = read(); V = read();
for(register int i = 1;i <= n;i++) m[i] = read(), w[i] = read(), v[i] = read();
optimize();
for(register int i = 1;i <= tot;i++)
{
for(register int j = V;j >= tw[i];j--) f[j] = max(f[j],f[j-tw[i]]+tv[i]);
}
printf("%d\n",f[V]);
return 0;
}