浅谈切比雪夫多项式推导及其实现模版归类

切比雪夫多项式

 

概述：

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

 

基本性质：

对每个非负整数n， Tn(x) 和 Un(x) 都为 n次多项式。 并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数， 在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。

 

按切比雪夫多项式的展开式：

一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下，多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw 递推公式计算。第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定。

 

也可以用母函数表示。

 

第二类切比雪夫多项式 由以下递推关系给出。

 

此时母函数为

 

Clenshaw递推公式

在数值分析中，Clenshaw递推公式 (由Charles William Clenshaw发现)是一个求切比雪夫多项式的值的递归方法。

 

切比雪夫多项式

N次切比雪夫多项式，是下面形式的多项式p(x)

 

 

其中T_n是n阶切比雪夫多项式

 

Clenshaw递推公式

Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。给定

 

 

我们定义

 

于是

 

 

(注)上面的公式在 N=0,1的情况下无意义。此时我们可以用下面的公式：

 

(downward, omit if N=0)

 

这里

或者

 

其中是第二类切比雪夫多项式

棣莫弗（de Moivre）原理

　　设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），则:

　　Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].

解析

　　证：先讲一下复数的三角形式的概念。在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi.于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称为复数Z的辐角.

　　因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以

　　Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）

　　=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）

　　=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]

　　=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].

　　其实该定理可以推广为一般形式：

推广

　　设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：

　　Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].

解析

　　证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。

　　如果把棣莫弗定理和欧拉（Euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。

　　利用棣莫弗定理有：

　　Z1Z2……Zn=r1r2……rn [cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]

　　如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2，……，Zn=rne^iθn,

　　Z1Z2……Zn=r1r2……rn e^i（θ1+θ2+……+θn)

　　这和指数的可加性一致.

　　在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z，则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.

下面这题可作为切比雪夫多项式的模版：

Trig Function

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Problem Description

 

f(cos(x))=cos(n∗x) holds for all x.

Given two integersn and m , you need to calculate the coefficient of x^m​​ in f(x), modulo 998244353

 

  

Input

 

Multiple testcases (no more than 100).

Each test casecontains one line consisting of two integers n and m.

1≤n≤10⁹,0≤m≤10⁴

 

  

Output

Output the answerin a single line for each test case.

  

Sample Input

2 0

2 1

2 2

 

Sample Output

998244352

0

2

【题意】

给出一个函数，代入n,m后求出x^m的系数，并取模输出。

【思路】

我们先尝试把cos(nx)化为cos(x)的形式，然后把cos(x)用x代换，就可以得到f(x)=...的形式，然后就能得到所求的系数了。

那么我们如何把cos(nx)化为cos(x)的形式呢。

其实可以尝试着暴力写出前几项的形式。如下图：

 

由写出的式子，我们可以发现以下几点：

1. 当m大于n时，答案显然为0。
2. 当n为奇数且m为偶数或n为偶数且m为奇数时答案显然为0。
3. 当n为奇数，且m为1时，答案的绝对值为n。
4. 当n为偶数，且m为0时，答案的绝对值为1。
5. 其余情况答案的绝对值均为【 n * (n-m+2) * (n-m+4) * ... * (n+m-4) * (n+m-2) 】/(m!)。(注意逆元的运用)
6. 上面出现绝对值的情况，3和4 当(n/2)%2 == 0 时符号为正，否则为负；5 当((n-m)/2)%2 == 0时，符号为正，否则符号为负。

依照这个规律分类讨论一下即可。

于是我们可以得到以下一般解析式

注意"!!"不是阶乘的阶乘，而是不超过n且与n具有相同奇偶性的所有正整数连乘积。

n分类讨论下,当n为偶数时m=2*k, n为奇数时m=2*k-1

还有注意下"!!"的约分,可能下面的比上面的大

于是我们就得到了以下代码：

 1 #include
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int maxn=1e5+5;
 5 const int mod=998244353;
 6 ll fac[maxn]={1};
 7 ll n,m;
 8 void init()
 9 {
10     for(int i=1;i)
11         fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
12 }
13 ll qmod(ll x,int q)
14 {
15     ll res=1;
16     while(q)
17     {
18         if(q%2)
19             res=res*x%mod;
20         x=x*x%mod;
21         q/=2;
22     }
23     return res;
24 }
25 int main(void)
26 {
27     init();
28     while(~scanf("%lld%lld",&n,&m))
29     {
30         if(m>n)
31             puts("0");
32         else if(n%2&&m%2==0)
33             puts("0");
34         else if(n%2==0&&m%2)
35             puts("0");
36         else
37         {
38             ll fz=n%mod;
39             if(m>=1)
40             {
41                 for(int i=n-m+1;i<=n+m-1;i++)
42                 {
43                     if(i%2==(n+m-2)%2)
44                     {
45                         fz=fz*i%mod;
46                     }
47                 }
48                 ll tmp=fz*qmod(fac[m],mod-2)%mod;
49                 if((n-m)/2%2)
50                     tmp=-tmp;
51                 printf("%lld\n",(tmp+mod)%mod);
52             }
53             else
54             {
55                 ll t=1;
56                 for(int i=n+m-1;i<=n-m;i++)
57                 {
58                     if(i%2==(n+m-2)%2)
59                         t=t*i%mod;
60                 }
61                 ll tmp=fz*qmod(fac[m],mod-2)%mod*qmod(t, mod-2)%mod;
62                 if((n-m)/2%2)
63                     tmp=-tmp;
64                 printf("%lld\n",(tmp+mod)%mod);
65             }
66         }
67     }
68 }