LeetCode 53 Maximum Subarray 最大子数组

Description

Given an integer array nums, find the contiguous subarray (containing at least one number) which has the largest sum and return its sum.

Example:

Input: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],

Output: 6

Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

Follow up:

If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.

思考

《算法导论》4.1 讲解了如何使用分治法求解最大子数组的问题,在练习题 4.1-5 ,提示了一个线性时间的算法。

对于数组 A, 如果已经知道了 A[0:j] 的最大子数组,那么可以按如下性质扩展得到 A[0:j+1] 的最大子数组:

A[0:j+1] 的最大子数组要么依然是 A[0:j] 的最大子数组,要么是某个子数组 A[i:j+1] (1<=i<=j+1>>) 
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上面这句话也可以直观地理解为:

A[0:j+1] 的最大子数组只有有两种可能情形:

   1. 依然是 A[0:j] 的最大子数组,它必定不包含 A[j] 这个元素(注意 a[j] 是 A[0:j+1] 的最后一个元素,并不包含在A[0:j]中);
   2. 是一个位于最右边的子数组(A[i:j+1] 形式的)。
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因此在循环体中,每次都计算一下情形2的最大子数组,即计算必定包含最后一个元素的最大子数组(我们给它命名为最右最大子数组),然后和 A[0:j]相比较,较大的即为 A[0:j+1]的最大子数组。

func maxIncludeRight(a []int) int {
	sum := 0
	max := math.MinInt64
	for i := len(a) - 1; i >= 0; i-- {
		if sum += a[i]; sum >= max {
			max = sum
		}
	}
	return max
}

func maxSubArray(nums []int) int {
	max := nums[0]
	for i := range nums {
		if right := maxIncludeRight(nums[:i+1]); max < right {
			max = right
		}
	}
	return max
}
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上面的代码已经可以正常工作了,现在来观察一下是否还有优化的余地。

观察 maxIncludeRight ,每次它都全新地来计算“最大最右子数组”,实际上,如果我们已知 a[0:i]的“最右最大子数组”,那么可以很快求出a[0:i+1]的“最大最右子数组”。方法如下:

  1. 如果a[0:i]的最右最大子数组m小于0,则a[0:i+1]的最右最大子数组就是 a[i];
  2. 如果a[0:i]的最右最大子数组m不小于0,则a[0:i+1]的最右最大子数组就是m+a[i]。

初始时, a[0:1]的最右最大子数组为 a[0], 这样可以一步步来求出 a[0:i]的最右最大子数组了。代码如下:

func maxIncludeRight(a []int, i int) int {
	max := a[0]
	for _, v := range a[1 : i+1] {
		if max < 0 {
			max = v
		} else {
			max += v
		}
	}
	return max
}

func maxSubArray(nums []int) int {
	max := nums[0]
	for i := range nums {
		if right := maxIncludeRight(nums, i); max < right {
			max = right
		}
	}
	return max
}
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注意到两次循环可以合并,一次搞定,因此最终的代码如下:

func maxSubArray(nums []int) int {
	max, sum := nums[0], nums[0]
	for _, e := range nums[1:] {
		if sum < 0 {
			sum = e
		} else {
			sum += e
		}
		if sum >= max {
			max = sum
		}
	}
	return max
}
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最后阅读上面这段代码,也可以换个角度来思考最大子数组问题。

最大子数组必定满足这一性质:

    位于它左侧的任何一个子数组必定大于0
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因为如果存在一个小于0的左侧子数组,则可以去掉它,而得到一个新的最大子数组。

例如,对于[-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]: [-2, 1, -3]肯定不是最大子数组,因为左侧的 [-2, 1]小于0 从4开始往右, [4] [4,-1] [4, -1, 2] [4, -1, 2, 1] 以上都有可能是最大子数组。

[4, -1, 2, 1,-5] 不可能是最大子数组,因为它小于0。

因此,按此方法从左向右,舍弃所有已知左侧子数组小于0的情形,然后取最大值即可。

转载于:https://juejin.im/post/5ce22580f265da1b6b1ca7fc

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