EP41-Greedy Algorithm

贪心，贪心和动归

贪心算法(Greedy Algorithm)就是把问题分解成很多个子问题，从从子问题中找到最优解，组合成总的最优解。

这个想法跟动态规划很像，不同的是动态规划的每个子问题都会影响下一个子问题，最后会完全match到结果的要求，而贪心法得到的很可能只是接近最优。

要说明他们的区别，典型的例子就是背包问题，小偷去偷东西，有多个不同价值w、不同体积v的物品可以拿，但只有一个容量为n的包；如果是0-1背包问题，用贪心的思想的话，就会先装w/v单位价值最大的物品，装满了就拿第二大的，直到装不下，这当然没有考虑背包是不是会有空余的体积没有装满造成的浪费；而动态规划就会直接考虑到包的容量是不是正好装满，它的每一个子步骤都会影响下一个子步骤。

安排教室

一个典型的贪心法的例子是活动安排问题，也是算法导论上的一个例子：

有n个活动的集合E = {1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si < fi 。如果选择了活动i，则它在半开时间区间[si, fi)内占用资源。若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则称活动i与活动j是相容的。也就是说，当si >= fj或sj >= fi时，活动i与活动j相容。安排尽可能多的活动。

可以理解成这些活动都要在一间教室举行，怎么才能安排尽可能多的活动呢。

活动安排.jpg

用贪心的思想，我们只希望当前活动时间结束地越早越好，这样就能给后面的活动留出更多的时间。不需要考虑后面活动的长短和冲突。正好，给出的表格是按照时间结束时间顺序排列的。如果不是，就用快速排序O(nlogn)时间排列一下。

下面的图是加入活动的迭代顺序，复杂度O(n)，非常直观。

蓝色代表已加入的活动

哈夫曼编码/哈夫曼树

这个是考研的时候必须会画的一张图了，理解起来很简单。

首先哈夫曼编码是压缩文件常用的算法。比如abcde5个字母组成的文件，出现的频次不同，我们怎么做才能压缩文件呢？当然是要先编码（压缩），再解码（解压缩）。把频次高的字母用短的符号表示，频次低的字母用长的符号表示。对了，这要求这些用来表示的符号是「前缀码」，这样才能解码。

下面这张图是构造哈夫曼树的过程，构造完了之后，哈夫曼编码自然而然就地出来了。对照构造的过程来看吧。完成之后的左子树对应0，右子树对应1。比如节点3就是101。这个是标准的前缀码。

构造哈夫曼树的算法：

对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F={T1,T2,T3,...,Ti,..., Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。
在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
重复2）和3），直到集合F中只有一棵二叉树为止。

huf.jpeg

哈夫曼编码的过程体现了贪心法的两个要点：
(1)贪心选择性质
(2)最优子结构性质

JumpGame

Given an array of non-negative integers, you are initially positioned at the first index of the array.
Each element in the array represents your maximum jump length at that position.
Determine if you are able to reach the last index.
For example:
A = [2,3,1,1,4], return true.
A = [3,2,1,0,4], return false.
这个问题有点像动态规划也有点像贪心。
说它像贪心是因为它只要判断当前的index上对应的num是不是能reach到last index，说它像动归是因为对于[0,2,3]这种test case，只考虑当前是不行的，因为0不能reach而2能reach，你不能直接遍历每个index能reach就返回true否则返回false，还需要维护一个能reach到的最远距离。

这题目给出这样的解法：

public boolean canJump(int[] nums) {
        int maxCover = 0;
        for (int i = 0; i <= nums.length - 1 && i <= maxCover; i++) {
            maxCover = Math.max(maxCover,nums[i]+i);//递推
            if (maxCover>=nums.length-1) return true;
        }
        return false;
    }

或许可以称为一个有递推式的贪心算法吧。

注意，本文只是讲了皮毛。

Reference:
[1]http://www.cnblogs.com/chinazhangjie/archive/2010/11/23/1885330.html
[2]http://www.cnblogs.com/phoenixzq/archive/2011/10/19/2217346.html