我理解的数据结构（五）—— 二分搜索树（Binary Search Tree）
一、二叉树
- 和链表一样，动态数据结构
- 具有唯一根节点
- 每个节点最多有两个子节点
- 每个节点最多有一个父节点
- 具有天然的递归结构
- 每个节点的左子树也是二叉树
- 每个节点的右子树也是二叉树
- 一个节点或者空也是二叉树
二、二分搜索树
- 是二叉树
-
每个节点的值
- 大于其左子树的所有节点的值
- 小于其右子树的所有节点的值
- 每一颗子树也是二分搜索树
- 存储的元素必须有可比较性
三、二分搜索树基础代码实现
1. 基础代码
因为二分搜索树的元素必须具有可比较行，所以E继承了Comparable，这是一个注意点
public class BST> {
// 节点
private class Node {
public E e;
public Node left;
public Node right;
public Node(E e) {
this.e = e;
left = null;
right = null;
}
}
private Node root;
private int size;
public BST() {
root = null;
size = 0;
}
public int getSize() {
return size;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
}
2. 添加元素代码
public void add(E e) {
if (root == null) {
root = new Node(e);
size++;
}
add(root, e);
}
// 在以node为根节点的二分搜索树添加元素e，递归调用
private void add(Node node, E e) {
if (node.e.compareTo(e)) { // 不考虑重复元素
return;
} else if (node.e.compareTo(e) > 0 && node.left == null) {
node.left = new Node(e);
size++;
return;
} else if (node.e.compareTo(e) < 0 && node.right == null) {
node.right = new Node(e);
size++;
return;
}
if (node.e.compareTo(e) > 0) {
add(node.left, e);
} else {
add(node.right, e);
}
}3. 添加元素代码（优化）
public void add(E e) {
root = add(root, e);
}
// 返回插入二分搜索树的根
private Node add(Node node, E e) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(e);
}
if (node.e.compareTo(e) > 0) {
node.left = add(node.left, e);
} else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
node.right = add(node.right, e);
}
return node;
}4. 查询元素代码
// 是否包含元素e
public boolean contains(E e) {
return contains(root, e);
}
private boolean contains(Node node, E e) {
if (node == null) {
return false;
}
if (node.e.compareTo(e) > 0) {
return contains(node.left, e);
} else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
return contains(node.right, e);
} else {
return true;
}
}四、二分搜索树的前、中、后序遍历
二叉树的前中后序遍历取决于在什么位置去访问元素，每个遍历都有不同的业务场景。
就拿下面这个二叉树举例：
//////////////////
// 5 //
// / \ //
// 3 6 //
// / \ \ //
// 2 4 8 //
//////////////////1. 前序遍历（深度优先遍历）
- 最常用的遍历方式
// 前序遍历
public void preOrder() {
preOrder(root);
}
private void preOrder(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 遍历前访问元素：前序遍历
System.out.println(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
前序遍历的结果：
5 3 2 4 6 8
2. 前序遍历（非递归写法）
public void preOrderNR() {
// import java.util.Stack;
Stack stack = new Stack<>();
stack.push(root);
while (!stack.isEmpty()) {
Node cur = stack.pop();
System.out.println(cur.e);
if (cur.right != null) {
stack.push(cur.right);
}
if (cur.left != null) {
stack.push(cur.left);
}
}
} 3. 中序遍历
- 二分搜索树的中序遍历结果是顺序的
// 中序遍历
public void inOrder() {
inOrder(root);
}
private void inOrder(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
inOrder(node.left);
// 遍历的中间访问元素：中序遍历
System.out.println(node.e);
inOrder(node.right);
}
中序遍历的结果：
2 3 4 5 6 8
4. 后序遍历
- 应用场景：释放内存
// 后序遍历
public void postOrder() {
postOrder(root);
}
private void postOrder(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
// 遍历的后面访问元素：后序遍历
System.out.println(node.e);
}
中序遍历的结果：
2 4 3 8 6 5
五、二分搜索树的层序遍历（广度优先遍历）
和二分搜索树的前序遍历不一样，层序遍历是广度优先遍历。
还是这个例子：优先遍历根节点5，然后是3、6，最后是2、4、8
//////////////////
// 5 //
// / \ //
// 3 6 //
// / \ \ //
// 2 4 8 //
//////////////////-
优点：
- 更快的找到问题的解
- 常用语设计算法中——最短路径
代码实现：
// 层序遍历
public void levelOrder() {
levelOrder(root);
}
private void levelOrder(Node node) {
// import java.util.Queue;
// import java.util.LinkedList;
Queue q = new LinkedList<>();
((LinkedList) q).add(node);
while (!q.isEmpty()) {
Node cur = q.remove();
System.out.println(cur.e);
if (cur.left != null) {
((LinkedList) q).add(cur.left);
}
if (cur.right != null) {
((LinkedList) q).add(cur.right);
}
}
} 六、删除二分搜索树最大值和最小值
1.找到最小值的节点
- 从根节点一直找左节点，直到找到
node.left == null，此时的node就是最小值的节点
// 二分搜索树的最小值
public E minimum() {
if (size == 0) {
throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
}
return minimum(root).e;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值的节点
private Node minimum(Node node) {
if (node.left == null) {
return node;
}
return minimum(node.left);
}2.找到最大值的节点
- 从根节点一直找右节点，直到找到
node.right == null，此时的node就是最大值的节点
// 二分搜索树的最大值
public E maximum() {
if (size == 0) {
throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");
}
return maximum(root).e;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最大值的节点
private Node maximum(Node node) {
if (node.right == null) {
return node;
}
return maximum(node.right);
}3.删除最小值的节点
- 如果需要删除的节点是一个叶子节点，没有右子树，那么直接删除即可
- 如果需要删除的节点不是一个叶子节点，那么需要把右节点替换到当前的节点
// 删除最小值的节点
public E removeMin() {
E min = minimum();
root = removeMin(root);
return min;
}
// 删除二分搜索树以node为最小值的节点
// 返回删除节点后的新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node) {
// 找到需要删除的节点
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}4.删除最大值的节点
// 删除最大值的节点
public E removeMax() {
E max = maximum();
root = removeMax(root);
return max;
}
// 删除二分搜索树以node为最大值的节点
// 返回删除节点后的新的二分搜索树的根
private Node removeMax(Node node) {
// 找到需要删除的节点
if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
node.right = removeMax(node.right);
return node;
}七、删除二分搜索树任意值
删除任意节点可以使用前驱（predecessor）和后继（successor）两种方法，下面使用的后继方法。
删除任意节点有三种情况：
-
删除只有左子树的节点
- 在逻辑上和删除最大值的节点是一样的
-
删除只有右子树的节点
- 在逻辑上和删除最小值的节点是一样的
-
删除既有左子树和右子树的节点
- 1962年，
Hibbard提出Hibbard Deletion - 原理图如下
- 1962年，
代码实现：
// 删除元素为e的节点
public void remove(E e) {
root = remove(root, e);
}
private Node remove(Node node, E e) {
if (node == null) {
return null;
}
if (node.e.compareTo(e) > 0) {
node.left = remove(node.left, e);
return node;
} else if (node.e.compareTo(e) < 0) {
node.right = remove(node.right, e);
return node;
} else { // e == node.e
if (node.left == null) { // 左子树为空
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
if (node.right == null) { // 右子树为空
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
// node的后继
Node successor = minimum(node.right);
// 把删除node.right的后继后的二叉树赋值给后继的right
successor.right = removeMin(node.right);
// 把node.left赋值给后继的left
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}