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旋度和散度

文章目录

  • 1概念
    • 1.1散度
    • 1.2旋度
  • 2旋度散度应用
  • 3如何计算旋度和散度
  • 3.1 散度
  • 3.2旋度

1概念

1.1散度

旋度和散度_第1张图片
如上图这个向量场，假设向量代表个点的速度，这种流体满足一种非常奇怪的非物理特性，在如下图的点，流体似乎在虚无中向外抛射出流体。其他点则像有流体流入。
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散度所告诉你的正式，向外发射或向内吸收的程度，例如之前像源一样的点的散度为1
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且让所有点从一点像外并非唯一的让散度为正的的情况。，当流入速度慢，流出速度快散度同样为正。
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如上情况，向量定义为二维面上的函数，散度则是定义在二维面上的新函数。以二维面做输入，单输出受该点的领域所影响。输出就是衡量那个点表示出源或汇程度的点。

1.2旋度

依然想象流体绕着一点流动，但这一次要流体绕着一点旋转的趋势大小
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可以这样考虑，如果你在流场中放一根木棍，将中心固定住，则木棒会绕着流体旋转。当逆时针旋转认为旋度为正，顺时针旋转旋度为负。
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以上图为例旋度也不为0，应为下方流速慢上方流速快，因而顺时针转。为负。

2旋度散度应用

旋度和散度_第9张图片
旋度和散度_第10张图片
如上图表示maxwell方程就用旋度表达。
方程1为高斯公式，在公式中将正电荷类比为流体的源。负电荷为流体的汇，空间中不带电荷部分，则对应流体中不受压缩部分如水。
旋度和散度_第11张图片
方程2为空间中磁场散度为0，可以理解为磁场为不可压缩流体散度处处为0。也可以推出磁单极的不存在。

3如何计算旋度和散度

旋度和散度_第12张图片

3.1 散度

假设你在向量场移动一小步达到另一点，那么这个点的应该和之前的向量不会相差太多
旋度和散度_第13张图片
用小变化来表达移动后的变化，即新点向量减去旧点向量
旋度和散度_第14张图片
点积 告诉你两个向量共线的程度，两者的点积在散度为正的的地方趋于正值，某种意义上散度也是点积的一种均值，不过这个是对所有方向取微小移动及其影响的点积取平均。
旋度和散度_第15张图片
假设如果向某个方向移动一小步，同事也导致差向量向同一个方向。着就对应一种向外流出的趋势，即正的散度。如果这些点积倾向于负值。即差向量向位移方向的相反向量，对应一种流入的趋势，也就是负散度。
旋度和散度_第16张图片

3.2旋度

叉乘是两个向量垂直的程度。你的位移向量和有其引起的差向量的差积在旋度为正的方向趋于正值，旋度是位移向量和差向量差积的平均，这对应流体旋转的趋势
旋度和散度_第17张图片

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