信号与系统时域分析(5)——卷积

       卷积(convolution)方法的原理就是将信号分解为冲激信号之和,借助系统的冲激响应,从而求解系统对任意激励信号的零状态响应。

       首先,将激励信号以单位冲激信号为基本组成元分解(不赘述):

                          e(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e(\tau)\delta(t-\tau)d\tau

      对线性时不变系统,已知系统的冲激响应h(t)以及激励信号e(t),欲求系统的零状态响应r(t),将上式中的\delta(t-\tau)更换为h(t-\tau)即可(因为线性时不变系统满足叠加定理)。

                        r(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e(\tau)h(t-\tau)d\tau

(2)卷积的数学意义(个人理解可以认为是函数动态乘积,卷这个词很形象)

      设函数f_1(t)与函数f_2(t)具有相同的变量t,定于f_1(t)f_2(t)的卷积运算

                      f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau

      从上面冲激响应推广,可以这样理解,首先f_1(t)\tau处的值为f_1(\tau),同时,对另一个函数为f_2(t),将它向右移动\tau到达\tau,变成f_2(t-\tau),与f_1(\tau)相对应。求所有\tau时刻的f_1(t)引起的响应。

      \tau时刻的单位冲激信号引起的冲激响应为f_2(t-\tau),即 \delta(t-\tau)\rightarrow{f_2(t-\tau)}

      幅值为f_1(\tau),宽度为d\tau的脉冲引起的响应为,\delta(t-\tau)*d\tau*f_1(\tau)\rightarrow{f_2(t-\tau)*d\tau*f_1(\tau)}

      (因为\delta(\tau)是一个宽度为d\tau,幅值为1/d\tau的矩形脉冲)

      时域完结撒花!

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