二维平面坐标系中，判断某点是否在正六边形内 | python 实现 + 数学推导（已知正六边形六个顶点坐标）

参考：高效判断点是否在正六边形蜂窝内的方法

上述文章给了我们一个高效的思路：在正六边形为原点且中心轴与y轴重合时，如何高效判断点是否在该正六边形内。本文的工作是将这种情况推广到正六边形处于任意位置。

数学推导

本文的所有的符号意义可以参考图。

初始条件

已知六个顶点坐标，六个顶点呈逆时针顺序，分别为$(x_1,y_1),...,(x_6,y_6)$。现在要判断$(x_p,y_p)$在不在正六边形内。

因为知道了六个顶点，因此：

• 中心点可求，即为$o=(x_o,y_o)=(\frac{x_2+x_5}{2},\frac{y_2+y_5}{2})$
• 长轴的一半可求，即为$a=\sqrt{(x_4-x_o{)}^2+(y_4-y_o{)}^2}$
• 以$(x_3-x_5,y_3-y_5)$为正方向的 单位向量 $t_{53}$也可求，这个用于后文求投影用。

思路

• 求出p点在如图的两条对称轴上的投影长度$x$和$y$；
• 如果$y>a$或$x>\frac{\sqrt{3}}{2}a$，则不在内；
• 如果$a-y<x/\sqrt{3}$，则不在内；
• 否则，在正六边形内。

投影求法

先建立向量$t_{op}$，即将o点与p点连起来。

$$t_{op}=(x_p-x_o,y_p-y_o)$$

则，x即为$t_{op}\cdot t_{53}$。

而由勾股定理，y易求。

$$y=\sqrt{||t_{op}|{|}^2-x^2}$$

python 程序实现

def isInGrid(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4, x5, y5, x6, y6, x_p, y_p):
	x_o = (x2 + x5) / 2
    y_o = (y2 + y5) / 2
    A = (
		(x4 - x_o)**2 + (y4 - y_o)**2
	) ** 0.5
	A1 = 3 ** 0.5 / 2 * A
	T_module = (
		(x3 - x5)**2 + (y3 - y5)**2
	) ** 0.5
	# T 即为单位向量 t_53
	T = (
		(x3 - x5) / self.T_module,
		(y3 - y5) / self.T_module,
	)
	t_op = (x_p - x_o, y_p - y_o)
	x = abs(t_op[0] * T[0] + t_op[1] * T[1])
    y = abs(t_op[0] * T[1] - t_op[1] * T[0])
    if y > A or x > A1:
         return False
    if A < 3 ** 0.5 / 3 * x + y:
         return False
	return True

我做了几个点，测试了几次，感官上是对的。

如果有错误，请指出，不胜感谢！

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