求最大公约数的5种算法

一、题目要求
运行最大公约数的常用算法，并进行程序的调式与测试（至少比较4种GCD算法在给定不同规模测试数据的情况下的平均运行时间），要求程序设计风格良好，并添加异常处理模块（如输入非法等）。
二、设计思路
利用随机函数rand()生成两个一维数组（20个数），然后用户可以选择自己想要用的方法的序号，进行运算，然后利用计时函数计算出算法运行的时间。
三、算法流程图
1.辗转相除法（嵌套调用）
其算法过程为： 前提：设两数为a,b设其中a 做被除数,b做除数，temp为余数
1、大数放a中、小数放b中；
2、求a/b的余数；
3、若temp=0则b为最大公约数；
4、如果temp!=0则把b的值给a、temp的值给a；
5、返回第二步；

递归调用的流程图如下：

2.穷举法
穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 。
定义：对两个正整数a,b如果能在区间[a,0]或[b,0]内能找到一个整数temp能同时被a和b所整除，则temp即为最大公约数。
流程图如下：

3.更相减损法
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。
算法流程图如下：

4.Stein法
整理一下，对两个正整数 x>y ：
1.均为偶数 gcd( x,y ) =2gcd( x/2,y/2 )；
2.均为奇数 gcd( x,y ) = gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )；
2.x奇y偶 gcd( x,y ) = gcd( x,y/2 )；
3.x偶y奇 gcd( x,y ) = gcd( x/2,y ) 或 gcd( x,y )=gcd( y,x/2 )；
现在已经有了递归式，还需要再找出一个退化情况。注意到 gcd( x,x ) = x ，就用这个。
流程图如下：

四、算法实现

在这里插入代码片
#include
#include
#include
#include
#include
#include
//辗转相除法
//函数嵌套调用
int divisor1 (int a,int b)    /*自定义函数求两数的最大公约数*/
{
  int  temp;          /*定义整型变量*/
  if(ab)?b:a;    /*采种条件运算表达式求出两个数中的最小值*/
    while(temp>0)     
    {
       if (a%temp==0&&b%temp==0) /*只要找到一个数能同时被a,b所整除，则中止循环*/
          break;    
       temp--;      /*如不满足if条件则变量自减，直到能被a,b所整除*/
    }
  return (temp); /*返回满足条件的数到主调函数处*/
}

//更相减损法
int gcd2(int m,int n)
{
	int i=0,temp,x;
	while(m%2==0 && n%2==0)  //判断m和n能被多少个2整除
	{
		m/=2;
		n/=2;
		i+=1;
	}
	if(mx)?n:x;
		n=(n> 1;
                                x -= y;
                        }
                        else
                        {/* when x is odd and y is even */
                                y >>= 1;
                        }
                }
                else
                {/* when x is even */
                        if ( y & 0x1 )
                        {/* when x is even and y is odd */
                                x >>= 1;
                                if ( x < y )
                                {
                                        temp = x;
                                        x = y;
                                        y = temp;
                                }
                        }
                        else
                        {/* when x and y are both even */
                                x >>= 1;
                                y >>= 1;
                                ++factor;
                        }
                }
        }
        return ( x << factor );
}
	int main()
	{
		int k,flag;
	    clock_t start,stop;
		//利用随机函数生成二十个数
	    srand((int)time(NULL));//利用时间函数time()，产生每次不同的随机数种子
        int a1[10],a2[10],i;
        for(i=0; i<10;i++) 
		{
             a1[i]=rand()%100+1; //rand()%100用于产生0-100之间的随机数
        }
		for(i=0; i<10;i++) 
		{
             a2[i]=rand()%100+1; //rand()%100用于产生0-100之间的随机数
        }
	    cout<<"以下是随机产生的两个一维数组"<>k;
  //计算5种算法的平均运行时间
 while(k<6)
 {
		 switch(k)		 
	 { 
     case 1:
		start = clock(); //计时函数：clock()
		 for(i=0; i<10;i++)
		 {  
			 cout<<"最大公约数为："<>flag;
	   if(flag==0)
		   break;
	   else k=flag;
 }
   return 0;
}

五、调试
对各五算法求取最大公约数功能一一取值调试验证。
（一）辗转相除法（嵌套）
由主函数传递参数到该算法函数的两个整数为31和68


程序运行后返回的值a为1，符合预期结果。
（二）辗转相除法（递归）
由主函数传递参数到该算法函数的两个整数为100和54

100和54的最大公约数为2

程序运行返回的值为2，符合预期结果。
（三）穷举法
由主函数传递参数到该算法函数的两个整数为87和39

87和39的最大公约数为3

程序运行返回的值为3，符合预期结果。
（四）更相减损法
由主函数传递参数到该算法函数的两个整数为20和51

20和51的最大公约数为1

程序运行返回的值为1，符合预期结果。
（五）Stein算法（非递归）
由主函数传递参数到该算法函数的两个整数为95和20

95和20的最大公约数为5

程序运行返回的值为5，符合预期结果。
六、测试
1、针对5种算法各自功能的测试，首先测试每种算法求最大公约数的正确性。为了直观的得出结论，利用随机函数生成10组数来判断。结果如下：
方法1.

方法2.

方法3.

方法4.

方法5.

经检验，这5种算法的10组数据的最大公约数输出结果不仅完全相同，并且符合预期结果。
2、下面我们来比较这5种算法运行时间
在10组数据下，5种算法的运行时间顺序是Stein>更相减损法=穷举法辗转相除法（递归）>辗转相除法（嵌套）；
在50组数据下的运行时间如下：






5种算法的运行时间顺序：Stein>更相减损法>穷举法>辗转相除法（递归）>辗转相除法（嵌套）；
在100组数据下的运行时间如下：






5种算法的运行时间顺序：
辗转相除法（嵌套）>辗转相除法（递归）=穷举法>Stein>更相减损法
在150组数据下的运行时间如下：






5种算法的运行时间顺序：穷举法>辗转相除法（嵌套）>辗转相除法（递归）>Stein>更相减损法;
七、实验心得
在该程序的设计中，大体思路是这样的：
（1）利用随机函数rand()随机生成1~100的数，可以用两个一维数组来存放这些数据。
（2）利用菜单功能形式，给用户提供选，用户根据提供的6种算法选择输入算法的
号即可执行该算法；
（4）在计算程序运行时间，会利用time库函数的函数clock()函数来获取执行该步骤的时间，即可计算出该算法执行的时间。（利用ctime库的函数clock()获取执行某算法步骤的时间，利用start和end变量求取时间，利用时间差即可得出执行时间。clock()函数的返回值是毫秒，返回值类型为浮点型；想要把它换成秒，直接除以CLOCKS_PER_SEC（宏定义为 1000）。）
通过这次的学习，掌握了时间函数，随机函数以及5种求最大公约数的方法，对以后编写程序有很大的帮助。