@LeetCode最长回文子串--Longest Palindromic Substring[C++]

问题描述

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为1000.

示例1:

输入：“babad”
输出：“bab”
注意："aba"也是一个有效答案。

示例2:

输入：“cbbd”
输出：“bb”

解决方法及复杂度分析

Manacher算法

首先，把输入的字符串 S 转换成另一个字符串 T，转换方法是在字符中间插入字符 #。

例如：S = “abaaba”, T = “#a#b#a#a#b#a#”。

为了发现最长回文子串，我们需要从每个 $T_i$ 开始拓展，拓展后的子串 $T_{i-d}...T_{i+d}$ 形成回文。可以知道，$d$ 是以 $T_i$ 为中心的回文的长度。

我们利用数组 P 存储每个以 $T_i$ 为中心的回文的长度。最长回文子串长度是数组 P 中最大值。

利用上述例子，从左到右填充数组 P：

T = # a # b # a # a # b # a #
P = 0 1 0 3 0 1 6 1 0 3 0 1 0

通过数组 P，我们可以得到最长回文子串是 “abaaba”。数组 P 的最大值：$P_6=6$。

现在，想象在回文 “abaaba” 的中心划一条想象的垂线。数组 P 中的值关于这条线对称。同样回文 “aba” 也是这样。这个对称性质是在满足一定条件下才成立。

接下来，我们讨论一个更复杂的例子，这个字符串包含一些重叠的回文。例子如下：

图1-1 样例字符串示意图

上图中，将字符串 S = “babcbabcbaccba” 转换为 T。此时数组 P 已经完成一部分。实线表明回文 “abcbabcba” 的中心 C。两条虚线表明相对于中心的左边(L)和右边®。指数 $i$ 与 $i\prime$ 是关于中心 C 对称。

当指数 $i=13$ 时，如果计算 $P[13]$，应该看关于回文中心 C 对称的指数 $i\prime$，此时 $i\prime =9$。

图1-2 计算数组 P 示意图

上图中，绿色实线覆盖区域表示两个以 $i$ 和 $i\prime$ 为中心的回文。$i$ 和 $i\prime$ 是关于中心 C 的镜像指数。根据对称性，$P[i]=P[i\prime ]=1$，即 $P[13]=1$。

图1-3 计算数组 P 特殊情况示意图

现在，计算 $P[15]$。如果仍然依据对称性（之前说过对称性在一定条件下才能满足），$P[15]=P[7]=7$。但这显然不对。如果我们以 $T_{15}$ 为中心拓展，仅能形成 “a#b#c#b#a” 回文，这比按照对称性得到的长度要短。

图1-4 计算数组 P 特殊情况示意图

如上图所示，依据 C 为中心的对称性，绿色实线表示两侧必须匹配的区域。红色实线表示两侧可能不匹配的区域。绿色虚线表示穿过中心的区域。

很明显，由两条绿色实线表示区域中的两个子字符串必须完全匹配。穿过中心的区域（由绿色虚线表示）也是对称的。注意，$P[i\prime ]=7$，它向左拓展越过回文的左边界(L)，所以它不再符合回文的对称性质。我们现在知道 $P[i]\ge 5$，为了确定 $P[i]$ 的值，必须向右拓展超过右边界®进行字符匹配。因此，可以知道 $P[21]̸=P[1]$，结论是 $P[i]=5$。

算法的关键步骤如下。
$$\begin{gathered} ifP[i\prime ]\le R-i, \\ thenP[i]\leftarrow P[i\prime ] \\ elseP[i]\ge P[i\prime ]. \end{gathered}$$

最后一步是确定如何同时移动 C 和 R 的位置。方法如下：

如果以 $i$ 为中心的回文向右拓展穿过 R，更新 C 为 $i$，并将 R 拓展到新回文的右边。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N)$
  – 扩展R（内部while循环）最多需要N个步骤，定位和测试每个中心也需要总共N个步骤。因此，该算法保证最多完成2 * N步，给出线性时间解。

程序实现

	class Solution {
	public:
		string longestPalindrome(string s) {
			string T = preProcess(s);
			int n = T.length();
			int *p = new int[n];
			int C = 0, R = 0;
			for(int i = 1; i < n - 1; i++) {
				int i_mirror = 2 * C - i;	//equals to i = C - (i - C)
				p[i] = (R > i) ? min(R - i, p[i_mirror]) : 0;

				// Attempt to expand palindrome centered at i
				while(T[i + 1 + p[i]] == T[i - 1 - p[i]])
					p[i]++;
				
				// If palindrome centered at i expand past R,
				// adjust center based on expanded palindrome
				if(i + p[i] > R) {
					C = i;
					R = i + p[i];
				}
			}

			// Find the maximum element in P
			int maxLen = 0;
			int centerIndex = 0;
			for(int i = 1; i < n - 1; i++) {
				if(p[i] > maxLen) {
					maxLen = p[i];
					centerIndex = i;
				}
			}
			delete[] p;
			return s.substr((centerIndex - 1 - maxLen) / 2, maxLen);
		}
		// Transform S into T
		// ^ and $ signs are sentinels appended to each end to avoid bounds checking
		string preProcess(string s) {
			int n = s.length();
			if(!n) return "^$";
			string ret = "^";
			for(int i = 0; i < n; i++)
				ret += "#" + s.substr(i, 1);
			
			ret += "#$";
			return ret;
		}
	};

@ 山东·威海 2019.01.30