离散数学思维导图 - 集合论，命题逻辑，谓词逻辑，二元关系，特殊关系，图论，树

离散数学思维导图

大纲：

	预备知识
		1.集合论
			set
				表示方法
					大写字母表示
					枚举法(显示法)
					叙述法(隐式法)
					归纳法
					递归指定集合法
					文氏图解法
				几个特殊集合
					空集(绝对唯一）
					全集(相对唯一）
					无限集
						等势
							一一对应
								两个有限集合等势当且仅当它们的元素个数相同；
								可数集合可以和其可数的真子集等势.
						可数集合
							基数(阿列夫0)
								∈阿列夫1(开区间(0,1)的基数)
						不可数集合
							既不是有限集
							也不是可数集的集合
				重要定义
					集合A的元素个数: |A|(基数)
					集族(Power Set)
						集合作为元素构成
						幂集
							所有不同子集构成
					⊕：对称差运算
						
					补集
						
						相对补集A-B(差集)
					德摩根律
						
			重要题型
				
	数理逻辑
		命题逻辑
			联结词
				┐
					否定
				∧
					合取
				∨
					析取
				
					异或
						“P异或Q”称为P与Q的不可兼或
				→
					蕴涵
						P称为蕴涵式的前件，Q称为蕴涵式的后件
							若P，则Q
							P仅当Q
							只要P， 就Q
							只有Q，才P
							除非Q，才P
							除非Q，否则非P
							P是Q的充分条件
						P→Q为假当且仅当P为真且Q为假
				↔
					等价
						P当且仅当Q
				优先级：否定→合取→析取→蕴涵→等价
			命题公式分类
				永真公式(重言式)
					满足式(一定)
				永假公式(矛盾式)
				G在解释Ｉ下是真的:Ｉ满足G；  G在解释Ｉ下是假的:Ｉ弄假于G.
				公式G、H等价 ↔ 公式G↔H是永真公式
					G = H 不是命题公式， G↔H是命题公式
			范式
				定义
					命题变元或命题变元的否定称为文字
					有限个文字的析取称为析取式(也称为子句）
					有限个文字的合取称为合取式(也称为短语）
					P与┐P称为互补对
					包括单个
				有限个短语的析取式称为析取范式
				有限个子句的合取式称为合取范式
				主析取范式
					每一个短语都是极小项
					必须且只能包含使得公式真值为真的那些解释对应的极小项
				主合取范式
					每一个子句都是极大项
					必须且只能包含使得公式真值为假的那些解释对应的极大项
				求解方法
					等价式和蕴涵式
						(Ｇ→Ｈ) = (┐Ｇ∨Ｈ)
						(Ｇ↔Ｈ) = (Ｇ→Ｈ)∧(Ｈ→Ｇ)  = (┐Ｇ∨Ｈ)∧(┐Ｈ∨Ｇ)
					德▪摩根定律
						┐(┐Ｇ) =Ｇ；
						┐(Ｇ∨Ｈ) =┐Ｇ∧┐Ｈ；
						┐(Ｇ∧Ｈ) =┐Ｇ∨┐Ｈ。
					分配定律
						Ｇ∨(Ｈ∧Ｓ) = (Ｇ∨Ｈ)∧(Ｇ∨Ｓ)
						Ｇ∧(Ｈ∨Ｓ) = (Ｇ∧Ｈ)∨(Ｇ∧Ｓ)
				包括单个
				总结
					若单个的子句（短语）无 最外层括号，则是合取范式（析取范式）；
					析取范式、合取范式仅含联结词集{┐，∧，∨}；
					“┐”联结词仅出现在命题变元前.
			推理推论
				概念
					反映客观对象或现象的共同本质属性的思维形式
					任何概念都是内涵和外延的统一体。
					内涵
						概念的质
					外延
						概念的量
				
					若H是G1∧G2∧…∧Gn的逻辑结果
						则efficacious(有效的)
						
							Г={G1,G2,…,Gn}
					H是G的逻辑结果(或称G蕴涵H
						当且仅当G→Ｈ为永真公式
						G为前提
							Premise
						H为结论
							conclusion
				判断方法
					真值表技术
						对所有G1,G2,…,Gn都具有真值T的行(表示前提为真的行),如果在每一个这样的行中，H也具有真值T
						对所有H具有真值为F的行(表示结论为假的行),如果在每一个这样的行中，G1,G2,…,Gn中至少有一个公式的真值为F(前提也为假)
					推理定律
						
						
						
						
						
						
					演绎法
						规则P（称为前提引用规则）
						规则T（逻辑结果引用规则）
						规则CP（附加前提规则）
							
					反证法
						
		谓词逻辑
			解决“命题的结构和成分”有关的推理问题
			基本概念
				Universal Quantifier全称量词
					
				Existential Quantifier存在量词
					
				Individual个体词
					不能随意变更顺序
					取值范围：Individual Field 个体域(或论域)
						全总个体域(Universal Individual Field)
				P(x)
					x：个体词
					P：谓词
					P(x):命题函数
				Predicate谓词
					0元
						命题
					一元
						某一个个体的某种特性
					n元
						n个个体之间的关系
				项与原子公式
					项(Term)
						（1）任意的常量符号或任意的变量符号是项；
						（2）若f(x1, x2, …, xn)是n 元函数符号，t1,t2,…,tn是项，则f(t1, t2, …, tn)是项；
						（3）仅由有限次使用(1)，(2)产生的符号串才是项。
					原子公式(Atomic Formulae)
						 若P(x1,x2,…,xn)是n 元谓词，t1，t2，…，tn是项，则称P(t1,t2,…,tn)为原子谓词公式(Atomic Propositional Formulae)
				存在：合取
任意：蕴含
					x : Function Variable作用变量
					F(x) : Scope辖域
						
		自由主题
	树
		定义
			无向树
				连通而不含回路的无向图
				简称树(Tree)，常用T表示树。
			叶
				树中度数为1的结点
			分支点
				度数大于1的结点
				内部结点
			森林
				每个连通分支都是树的无向图
			生成树
				给定图G = ，若G的某个生成子图是树
				树枝
					生成树TG中的边
				弦
					G中不在TG中的边
				补
					TG的所有弦的集合称为生成树
				权
					T的每个树枝所赋权值之和
				最小生成树
					G中具有最小权的生成树
			有向树
				一个有向图，若略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树
			有序树
				如果在根树中规定了每一层上结点的次序
			k元树
				若每个分支点至多有k个儿子
			k元完全树
				若每个分支点都恰有k个儿子
			k元有序完全树
				k元完全树T是有序的
			子树
				任一结点v及其所有后代导出的子图T’称为T的以v为根
			决策树
				有一棵根树，如果其每个分支点都会提出一个问题，从根开始，每回答一个问题，走相应的边，最后到达一个叶结点，即获得一个决策
		!算法
			Kruskal算法
				
			Prim算法
				
			哈夫曼算法
				
		定理
			树
				边数最多的无回路图
				边数最少的连通图
				无向图G = (n, m)中，
					    若m＜n-1，则G是不连通的
					    若m＞n-1，则G必含回路
	图论
		握手定理
			
			推论：图中度数为奇数的结点个数为偶数。
		同构
			
			
			必要条件
				（1）结点数目相同； 
				（2）边数相同； 
				（3）度数相同的结点数相同。
		
			边数最大值
		连通性
			连通图
				强连通图
					G中任何一对结点之间都是相互可达的
					它的可达性矩阵P的所有元素均为1；
				单向连通图
					若G中任何一对结点之间至少有一个结点到另一个结点是可达的
					它的可达性矩阵P及其转置矩阵PT经过布尔并运算后所得的矩阵P’= P∨PT中除主对角元外其余元素均为1
				(弱)连通图
					略去G中所有有向边的方向得无向图G’，如果无向图G’是连通图
					它的邻接矩阵A及其转置矩阵AT经布尔并运算所得的矩阵A’= A∨AT作为邻接矩阵而求得的可达性矩阵P’中所有元素均为1。
				若有向图G是强连通图，则它必是单向连通图；若有向图G是单向连通图，则它必是（弱）连通图。
			分支
				
		应用
			Floyd算法
				
				
			Dijkstra算法
		邻接矩阵与可达性矩阵
			可达性矩阵
				
			
			
	二元关系
		关系的基本概念 
			有序偶对(序偶)
				两个元素x,y按照一定的次序组成的二元组
				
				其中称x为的第一元素，y为的第二元素
				成对出现、具有一定的顺序
			笛卡尔积(Descartes Product)
				集合：A×B＝{|(x∈A)∧(y∈B)}为集合A与B的笛卡尔积
				对有限集A,B，有|A×B|=|B×A|=|A|×|B|
				A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
				
			关系(Relation)
				称A×B的任何子集 R 为从A到B的二元关系
				A＝B，则称R为A上的二元关系
				A称为R的前域，B称为R的后域
				
				当R=Φ时，称R为空关系(empty relation)；
				当R=A×B时，则称R为全关系(Total Relation)
				xRy
					∈R
					x对y有关系R
				当集合A,B都是有限集时，A×B共有2^(|A|•|B|)个不同的子集，即从A到B的不同关系共有2^(|A|•|B|)个。
		关系的表示与运算
			集合表示法（枚举法和叙述法）
			关系图法
			关系矩阵
				关系矩阵是0-1矩阵，称为布尔矩阵
			R∪S={|(xRy)∨(xSy)} (即∈R∨∈S)
			复合运算
				(RoS)oT = Ro(SoT)
				IAoR = RoIB = R
			逆运算
				 R-1＝{|∈R}
				(RoS)-1 = S-1oR-1
			幂运算
				设R是集合A上的关系，则R的n次幂，记为Rn，定义如下：
				R0＝IA＝{|a∈A}；
				R1＝R；
				Rn+1＝RnoR＝RoRn
		关系的性质与闭包 
			假定其前域和后域相同
			
			
			
		特殊关系
			等价关系
				设R是定义在非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的、传递的，则称R为A上的等价关系。
				事实上，对任意正整数n，整数集合Z的任意非空子集A上的关系，R={|(x,y∈A)∧(n|(x-y))}，都是等价关系。 
				同余式
					上述R称为Z上以n为模的同余关系(Congruence Relation)，记xRy为x＝y(mod n)
					
					
				等价类
					
					
				商集
					
			次序关系
				拟序关系
					
				偏序关系
					
					哈斯图
						用小圆圈或点表示A中的元素，省掉关系图中所有的环；（因自反性)
						对任意x,y∈A，若x＜y，则将x画在y的下方，可省掉关系图中所有边的箭头；（因反对称性）
						对任意x,y∈A，若x＜y，且不存在z∈A，使得x＜z, z＜y，则x与y之间用一条线相连，否则无线相连。（因传递性）
					设是偏序集，B是A的任何一个子集。若存在元素a∈A，使得
						对任意x∈B，都有x≤a，则称a为B的上界；
						对任意x∈B，都有a≤x，则称a为B的下界；
						若元素a′∈A是B的上界，元素a∈A是B的任何一个上界，若均有a′≤a，则称a′为B的最小上界或上确界。记a′= SupB；
						若元素a'∈A是B的下界，元素a∈A是B的任何一个下界，若均有a≤a′，则称a′为B的最大下界或下确界。记a′= InfB。
				全序关系
					
					全序关系是偏序关系，反之则不然。
				良序关系