南京大学《算法设计与分析》期末复习笔记——图论部分与NP问题

本博文建议配合南京大学黄宇老师所著的《算法设计与分析》教材阅读。

第四章——DFS

第四章知识框架：

1. 在图结构中，点的颜色有白色，灰色，黑色，且变化过程只能是白色->灰色->黑色，方向不可逆。
2. 边的种类有TE，BE，DE，CE
   其中CE的要求是，若u指向v，v的颜色不是白色，且uv没有祖先后继关系，则边uv是一条CE
3. 活动区间：在DFS中，活动区间应该只能是嵌套，或者是相邻，应该不存在两个区间只有一部分重叠这种情况
4. 白色路径定理：在深度优先遍历树中，节点v是w的祖先，当且仅当在遍历过程中刚刚发现节点v的时刻，存在一条从v到w的全部由白色节点组成的路径。
   根据笔者的经验，这条定理真正用到的时候很少，基本上做题的时候用不到，所以只需要理解即可。
5. 有向图中TE，BE，DE，CE都有
   无向图中只考虑TE，不是父节点的BE。其他的都属于二次遍历（为什么？）

一些应用的例子

有向图中DFS的应用

1. 拓扑排序
   1.1尽头的概念（拓扑排序中依赖关系的尽头是自由的，所以先从依赖关系的尽头入手）（逻辑尽头：定义：）
   1.2执行流程：如果子节点颜色是白色，就以子节点开始递归
   1.3例题：有向无环图中源点到其他节点的最短、最长路径（动态规划，见第十四章）
   1.4定理：图G是有向无环图当且仅当G有拓扑排序，若有环则不存在拓扑排序
2. 关键路径
   2.1定义：
   2.2执行流程：递归
   2.3只有减少关键路径上的任务的执行时间，才能减少总时间
   3.SCC（强连通片的划分）
   3.1步骤（DFS、入栈、出栈、DFS/BFS）
   3.2出栈的时候，一个强连通片的点一定是连在一起的，在之中不会出现其他的强连通片的点
   3.3强连通片之间一定是单向的，否则的话这两个强连通片就会合并为一个强连通片
   无向图中DFS的应用：
   0.k-边连通、k-点连通的概念
   1.割点的寻找
   1.1传统定义
   1.2符合计算机的定义
   2.割边的寻找
   2.1与割点的寻找的不同之处（割点是>=，割边是>）

你好！ 这是你第一次使用 Markdown编辑器 所展示的欢迎页。如果你想学习如何使用Markdown编辑器, 可以仔细阅读这篇文章，了解一下Markdown的基本语法知识。

新的改变

我们对Markdown编辑器进行了一些功能拓展与语法支持，除了标准的Markdown编辑器功能，我们增加了如下几点新功能，帮助你用它写博客：

1. 全新的界面设计 ，将会带来全新的写作体验；
2. 在创作中心设置你喜爱的代码高亮样式，Markdown 将代码片显示选择的高亮样式 进行展示；
3. 增加了 图片拖拽 功能，你可以将本地的图片直接拖拽到编辑区域直接展示；
4. 全新的 KaTeX数学公式 语法；
5. 增加了支持甘特图的mermaid语法¹ 功能；
6. 增加了 多屏幕编辑 Markdown文章功能；
7. 增加了 焦点写作模式、预览模式、简洁写作模式、左右区域同步滚轮设置 等功能，功能按钮位于编辑区域与预览区域中间；
8. 增加了 检查列表 功能。

功能快捷键

撤销：Ctrl/Command + Z
重做：Ctrl/Command + Y
加粗：Ctrl/Command + B
斜体：Ctrl/Command + I
标题：Ctrl/Command + Shift + H
无序列表：Ctrl/Command + Shift + U
有序列表：Ctrl/Command + Shift + O
检查列表：Ctrl/Command + Shift + C
插入代码：Ctrl/Command + Shift + K
插入链接：Ctrl/Command + Shift + L
插入图片：Ctrl/Command + Shift + G

合理的创建标题，有助于目录的生成

直接输入1次#，并按下space后，将生成1级标题。

输入2次#，并按下space后，将生成2级标题。
以此类推，我们支持6级标题。有助于使用TOC语法后生成一个完美的目录。

如何改变文本的样式

强调文本 强调文本

加粗文本 加粗文本

标记文本

删除文本

引用文本

H₂O is是液体。

2¹⁰ 运算结果是 1024.

插入链接与图片

链接: link.

图片:

带尺寸的图片:

居中的图片:

居中并且带尺寸的图片:

当然，我们为了让用户更加便捷，我们增加了图片拖拽功能。

如何插入一段漂亮的代码片

去博客设置页面，选择一款你喜欢的代码片高亮样式，下面展示同样高亮的 代码片.

// An highlighted block
var foo = 'bar';

生成一个适合你的列表

• 项目
  • 项目
    • 项目

1. 项目1
2. 项目2
3. 项目3

• 计划任务
• 完成任务

创建一个表格

一个简单的表格是这么创建的：

项目	Value
电脑	$1600
手机	$12
导管	$1

设定内容居中、居左、居右

使用:---------:居中
使用:----------居左
使用----------:居右

第一列	第二列	第三列
第一列文本居中	第二列文本居右	第三列文本居左

SmartyPants

SmartyPants将ASCII标点字符转换为“智能”印刷标点HTML实体。例如：

TYPE	ASCII	HTML
Single backticks	'Isn't this fun?'	‘Isn’t this fun?’
Quotes	"Isn't this fun?"	“Isn’t this fun?”
Dashes	-- is en-dash, --- is em-dash	– is en-dash, — is em-dash

创建一个自定义列表

Markdown

Text-to- HTML conversion tool

Authors

John

Luke

如何创建一个注脚

一个具有注脚的文本。²

注释也是必不可少的

Markdown将文本转换为 HTML。

KaTeX数学公式

您可以使用渲染LaTeX数学表达式 KaTeX:

Gamma公式展示 $\Gamma (n)=(n-1)!\forall n\in \mathbb{N}$ 是通过欧拉积分

$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt.$$

你可以找到更多关于的信息 LaTeX 数学表达式here.

新的甘特图功能，丰富你的文章

Mon 06 Mon 13 Mon 20 已完成 进行中 计划一 计划二 现有任务 Adding GANTT diagram functionality to mermaid

• 关于 甘特图 语法，参考 这儿,

UML 图表

可以使用UML图表进行渲染。 Mermaid. 例如下面产生的一个序列图：:

张三 李四 王五 你好！李四, 最近怎么样? 你最近怎么样，王五？ 我很好，谢谢! 我很好，谢谢! 李四想了很长时间, 文字太长了 不适合放在一行. 打量着王五... 很好... 王五, 你怎么样? 张三 李四 王五

这将产生一个流程图。:

链接

长方形

圆

圆角长方形

菱形

• 关于 Mermaid 语法，参考 [这儿][3],

FLowchart流程图

我们依旧会支持flowchart的流程图：

Created with Raphaël 2.2.0 开始 我的操作 确认？ 结束 yes no

• 关于 Flowchart流程图 语法，参考 这儿.

导出与导入

导出

如果你想尝试使用此编辑器, 你可以在此篇文章任意编辑。当你完成了一篇文章的写作, 在上方工具栏找到 文章导出 ，生成一个.md文件或者.html文件进行本地保存。

导入

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继续你的创作。

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1. mermaid语法说明 ↩︎

2. 注脚的解释 ↩︎