ICP（迭代最近点）算法

博文转自：ICP（迭代最近点）算法

在此表示感谢！

最近一直在学习ICP点云配准有关知识，找到一篇比较详细的学习资料，如果结合ICP算法的程序段一起看，则可极大地加深对算法的理解。ICP算法源程序：ICP算法MATLAB仿真

图像配准是图像处理研究领域中的一个典型问题和技术难点，其目的在于比较或融合针对同一对象在不同条件下获取的图像，例如图像会来自不同的采集设备，取自不同的时间，不同的拍摄视角等等，有时也需要用到针对不同对象的图像配准问题。具体地说，对于一组图像数据集中的两幅图像，通过寻找一种空间变换把一幅图像映射到另一幅图像，使得两图中对应于空间同一位置的点一一对应起来，从而达到信息融合的目的。 一个经典的应用是场景的重建，比如说一张茶几上摆了很多杯具，用深度摄像机进行场景的扫描，通常不可能通过一次采集就将场景中的物体全部扫描完成，只能是获取场景不同角度的点云，然后将这些点云融合在一起，获得一个完整的场景。

ICP（Iterative Closest Point迭代最近点）算法是一种点集对点集配准方法。如下图所示，PR（红色点云）和RB（蓝色点云）是两个点集，该算法就是计算怎么把PB平移旋转，使PB和PR尽量重叠。
　　
　　用数学语言描述如下，即ICP算法的实质是基于最小二乘法的最优匹配，它重复进行“确定对应关系的点集→计算最优刚体变换”的过程，直到某个表示正确匹配的收敛准则得到满足。
　　
　　ICP算法基本思想：

如果知道正确的点对应，那么两个点集之间的相对变换（旋转、平移）就可以求得封闭解。

首先计算两个点集X和P的质心，分别为μx和μp
然后在两个点集中分别减去对应的质心（Subtract the corresponding center of mass from every point in the two point sets before calculating the transformation）

目标函数E(R,t)的优化是ICP算法的最后一个阶段。在求得目标函数后，采用什么样的方法来使其收敛到最小，也是一个比较重要的问题。求解方法有基于奇异值分解的方法、四元数方法等。

如果初始点“足够近”，可以保证收敛性

ICP算法优点：

可以获得非常精确的配准效果
不必对处理的点集进行分割和特征提取
在较好的初值情况下，可以得到很好的算法收敛性
ICP算法的不足之处：

在搜索对应点的过程中，计算量非常大，这是传统ICP算法的瓶颈
标准ICP算法中寻找对应点时，认为欧氏距离最近的点就是对应点。这种假设有不合理之处，会产生一定数量的错误对应点
　　针对标准ICP算法的不足之处，许多研究者提出ICP算法的各种改进版本，主要涉及如下所示的6个方面。
　　
　　标准ICP算法中，选用点集中所有的点来计算对应点，通常用于配准的点集元素数量都是非常巨大的，通过这些点集来计算，所消耗的时间很长。在后来的研究中，提出了各种方法来选择配准元素，这些方法的主要目的都是为了减小点集元素的数目，即如何选用最少的点来表征原始点集的全部特征信息。在点集选取时可以：1.选取所有点；2.均匀采样（Uniform sub-sampling ）；3.随机采样（Random sampling）；4.按特征采样（Feature based Sampling ）；5.法向空间均匀采样（Normal-space sampling），如下图所示，法向采样保证了法向上的连续性（Ensure that samples have normals distributed as uniformly as possible）
　　
　　基于特征的采样使用一些具有明显特征的点集来进行配准，大量减少了对应点的数目。
　　
　　
　　点集匹配上有：最近邻点（Closet Point）
　　
　　法方向最近邻点（Normal Shooting）
　　
　　　投影法（Projection）
　　　
　　　根据之前算法的描述，下面使用Python来实现基本的ICP算法（代码参考了这里）：

• import numpy as np

  def best_fit_transform(A, B):
  ‘’’
  Calculates the least-squares best-fit transform between corresponding 3D points A->B
  Input:
  A: Nx3 numpy array of corresponding 3D points
  B: Nx3 numpy array of corresponding 3D points
  Returns:
  T: 4x4 homogeneous transformation matrix
  R: 3x3 rotation matrix
  t: 3x1 column vector
  ‘’’

  assert len(A) == len(B)
  
  # translate points to their centroids
  centroid_A = np.mean(A, axis=0)
  centroid_B = np.mean(B, axis=0)
  AA = A - centroid_A
  BB = B - centroid_B
  
  # rotation matrix
  W = np.dot(BB.T, AA)
  U, s, VT = np.linalg.svd(W)
  R = np.dot(U, VT)
  
  # special reflection case
  if np.linalg.det(R) < 0:
     VT[2,:] *= -1
     R = np.dot(U, VT)
  
  
  # translation
  t = centroid_B.T - np.dot(R,centroid_A.T)
  
  # homogeneous transformation
  T = np.identity(4)
  T[0:3, 0:3] = R
  T[0:3, 3] = t
  
  return T, R, t
  

  def nearest_neighbor(src, dst):
  ‘’’
  Find the nearest (Euclidean) neighbor in dst for each point in src
  Input:
  src: Nx3 array of points
  dst: Nx3 array of points
  Output:
  distances: Euclidean distances (errors) of the nearest neighbor
  indecies: dst indecies of the nearest neighbor
  ‘’’

  indecies = np.zeros(src.shape[0], dtype=np.int)
  distances = np.zeros(src.shape[0])
  for i, s in enumerate(src):
      min_dist = np.inf
      for j, d in enumerate(dst):
          dist = np.linalg.norm(s-d)
          if dist < min_dist:
              min_dist = dist
              indecies[i] = j
              distances[i] = dist    
  return distances, indecies
  

  def icp(A, B, init_pose=None, max_iterations=50, tolerance=0.001):
  ‘’’
  The Iterative Closest Point method
  Input:
  A: Nx3 numpy array of source 3D points
  B: Nx3 numpy array of destination 3D point
  init_pose: 4x4 homogeneous transformation
  max_iterations: exit algorithm after max_iterations
  tolerance: convergence criteria
  Output:
  T: final homogeneous transformation
  distances: Euclidean distances (errors) of the nearest neighbor
  ‘’’

  # make points homogeneous, copy them so as to maintain the originals
  src = np.ones((4,A.shape[0]))
  dst = np.ones((4,B.shape[0]))
  src[0:3,:] = np.copy(A.T)
  dst[0:3,:] = np.copy(B.T)
  
  # apply the initial pose estimation
  if init_pose is not None:
      src = np.dot(init_pose, src)
  
  prev_error = 0
  
  for i in range(max_iterations):
      # find the nearest neighbours between the current source and destination points
      distances, indices = nearest_neighbor(src[0:3,:].T, dst[0:3,:].T)
  
      # compute the transformation between the current source and nearest destination points
      T,_,_ = best_fit_transform(src[0:3,:].T, dst[0:3,indices].T)
  
      # update the current source
  # refer to "Introduction to Robotics" Chapter2 P28. Spatial description and transformations
      src = np.dot(T, src)
  
      # check error
      mean_error = np.sum(distances) / distances.size
      if abs(prev_error-mean_error) < tolerance:
          break
      prev_error = mean_error
  
  # calculcate final tranformation
  T,_,_ = best_fit_transform(A, src[0:3,:].T)
  
  return T, distances
   if __name__ == "__main__":
  A = np.random.randint(0,101,(20,3))    # 20 points for test
  
  rotz = lambda theta: np.array([[np.cos(theta),-np.sin(theta),0],
                                     [np.sin(theta),np.cos(theta),0],
                                     [0,0,1]])
  trans = np.array([2.12,-0.2,1.3])
  B = A.dot(rotz(np.pi/4).T) + trans
  
  T, distances = icp(A, B)
  
  np.set_printoptions(precision=3,suppress=True)
  print T
  

  上面代码创建一个源点集A（在0-100的整数范围内随机生成20个3维数据点），然后将A绕Z轴旋转45°并沿XYZ轴分别移动一小段距离，得到点集B。结果如下，可以看出ICP算法正确的计算出了变换矩阵。
  
  需要注意几点：

1.首先需要明确公式里的变换是T（P→X）， 即通过旋转和平移把点集P变换到X。我们这里求的变换是T（A→B），要搞清楚对应关系。

2.本例只用了20个点进行测试，ICP算法在求最近邻点的过程中需要计算20×20次距离并比较大小。如果点的数目巨大，那算法的效率将非常低。

3.两个点集的初始相对位置对算法的收敛性有一定影响，最好在“足够近”的条件下进行ICP配准。

参考：
Iterative Closest Point (ICP) and other matching algorithms

PCL学习笔记二：Registration (ICP算法)

ClayFlannigan/icp

ICP迭代最近点算法综述