群与子群
集合上的运算
定义：设A是一个非空集合,一个从到A中的映射称为集合A上的一个二元运算,简称为运算,也称为乘法或加法,记在f下的像为或,称为a与b的积或和
群
定义：设G是一个非空集合,且G上有一个乘法""满足下列条件：
1.,有(乘法的结合律)
2.,,有(e称为群G的单位元)
3.,,使(b称为a的逆元,记作)
则称G关于乘法""构成一个群
注：一个集合上可定义多种乘法,用表示群,简记作G
交换群
设是一个群,若,有,则称G为交换群(Abel群),否则称为非交换群(非Abel群)
例：记为实数域R上的n阶可逆矩阵的全体所成集合,其乘法为矩阵的乘法,则构成一个非交换群
有限群
设是一个群,G所含元的个数称为群G的阶,记作,若$|G|为有限数,则称G为有限群,否则称为无限群
注：若,由乘法结合律,n个a的连乘有意义,记作,规定,将满足的最小正整数n称为元a的阶,记作,若上述n不存在,则称a的阶无限,记作
例：在集合中定义运算""：,显然,是群,其中单位元为
,,,故
消去律
定理：设是群,则G满足消去律：
1.左消去律：,若,则
2.右消去律：,若,则
证明：
子群
定义：设是群,H是G的非空子集,若H关于G中的乘法构成一个群,则称H为G的子群,记作,若,则称H为G的真子群,记作
注：显然是的真子群,是的真子群
平凡子群
若是群,则和G显然是G的子群,称为G的平凡子群
判断方法
引理：设是群,,则H中的单位元与G中的单位元相同
证明：
引理：设是群,,,则a在H中的逆元与在G中的逆元相同
证明：
定理：设是群,H为G的非空子集,则下列条件等价：
1.H为G的子群
2.,有,且
3.,有
证明：
定理：设是群,为G的一个子群簇,其中I为某个指标集,则也是G的子群
证明：
生成子群
设是群,S是群G的非空子集,G中所有包含S的子群的交称为由S生成的子群,记作,即
易证
特别：
若,则
若,则称G是由S生成的,S中的元称为G的生成元,若S是有限集,则称G是有限生成的,否则成G是无限生成的
显然,有限群是有限生成的,但有限生成的群不一定是有限群,例如是由1生成的无限群
无限生成群
例：有理数集Q关于加法""构成一个群不是有限生成的
证：