数字图像处理笔记—图像复原（一）

数字图像处理笔记—图像复原（一）

0 概述

定义：图像复原，即利用退化现象的某些先验知识来重建或复原被退化的图像。
与图像增强的区别：图像增强是一个主观的过程，即突出所关心的内容，满足人的视觉系统；图像复原是一个客观的过程，它的最终目的是改善给定的图像，即恢复退化图像的本来面目，忠实于原始图像。

1 图像退化/复原过程模型

空间域：
g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)+η(x,y)
频域：
G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)

2 噪声模型

2.1 噪声来源

主要来源于图像的获取和传输过程。例如，CCD摄像机获取图像，光照程度和传感器温度是生成图像中产生大量噪声的主要因素；传输过程受所用传输信道的噪声干扰。

2.2 一些重要的噪声概率密度函数（PDF）

1. 高斯噪声
   概率密度函数： p(z)=12π√σe−（z−μ)2/2σ2
   均值： μ
   方差： σ2
   曲线：
2. 瑞利噪声
   概率密度函数：
   p(z)={2b(z−a)e−(z−a)2/b,0,z≥az<a
   均值： μ=a+πb−−√/4
   方差： σ2=b(4−π)4
   曲线：

3.伽马（爱尔兰）噪声
p(z)=⎧⎩⎨abz(b−1)(b−1)!e−az,0,z≥0z<0
均值： μ=ba
方差： σ2=ba2
曲线：
注意：只有当分母是 Γ(b) 时，才是伽马噪声，如表达式中的，该密度近似称为爱尔兰密度
4. 指数分布噪声
概率密度函数：
p(z)={ae−az,0,z≥0z<0
均值： μ=1a
方差： σ2=1a2
曲线：
5. 均匀噪声
概率密度函数： p(z)={1b−a,0,a≤z≤b其他
均值： μ=a+b2
方差： σ2=(b−a)212
曲线：
6. 脉冲（椒盐）噪声
概率密度函数：
双极脉冲噪声 p(z)=⎧⎩⎨Pa,Pb,0,z=az=b其他
如果b>a，灰度值b在图像中将显示为一个亮点，相反，a的值将显示为一个暗点。若 Pa 或 Pb 为零，则脉冲噪声为单极脉冲。如果两者都不为零，尤其在它们近似相等时，脉冲噪声将类似于随机分布在图像上的胡椒和盐粉微粒，因此双极脉冲噪声也称为椒盐噪声。
曲线：

2.3 周期噪声

1.来源：主要是在图像获取过程中从电力或机电干扰中产生的。
2.是唯一的一种空间依赖性噪声（即该噪声不是对原图像某一区域的影响，而是对图像的整个空域都有影响）。空间上表现为周期性，在频域中是孤立的点，因此常用频域的办法来滤除周期噪声

3.噪声参数估计
典型的周期噪声参数是通过检测图像的频谱来进行估计的，但这仅仅适用于非常简单的情况。
通常采用的方法是截取一组“平坦”环境的图像，通过这部分图像的直方图形状与上节中几种典型噪声的直方图形状进行匹配，如果形状是高斯，那么我们就说这个噪声是高斯噪声，继续计算它的均值和方差，得到需要的参数。
均值： μ=∑xi∈Szip(zi)
方差： σ2=∑xi∈S(zi−μ)2p(zi)
对于其他噪声，如瑞利、指数等，其参数a和b可以根据均值和方差计算得到。

3 噪声存在下的唯一空间滤波

当图像中的退化仅有加性噪声时，即退化模型变为下式这样

时域： g(x,y)=f(x,y)+η(x,y)
频域： G(u,v)=F(u,v)+N(u,v)
噪声项是未知的，此时选用空间滤波方法，这里采用的滤波与图像增强类似。

3.1 均值滤波器

• 算术均值滤波器
  描述： f^(x,y)=∑(s,t)∈Sxyg(s,t)
  结果：模糊了结果，降低了噪声
  适用：适用于高斯噪声或均匀随机噪声

• 几何均值滤波器
  描述： f^(x,y)=[∏(s,t)∈Sxyg(s,t)]
  结果：和算术均值滤波器相比，丢失更少的细节
  适用：同算术均值滤波器

• 谐波均值滤波器
  描述： f^(x,y)=mn∑(x,y)∈Sxy1g(s,t)
  结果：谐波均值滤波器对于“盐”噪声效果更好，但是不适用于“胡椒”噪声。
  适用：像高斯那样的噪声

• 逆谐波均值滤波器
  描述： f^(x,y)=∑(s,t)∈Sxyg(s,t)Q+1∑(s,t)∈Sxyg(s,t)Q
  其实Q称为滤波器的阶数，当Q值为正时，滤波器用于消除“胡椒”噪声；当Q值为负时，滤波器用于消除“盐”噪声。但它不能同时消除两种噪声，当Q值为0时，逆谐波滤波器变为算术均值滤波器；当Q为-1时，逆谐波均值滤波器退变为谐波均值滤波器。
  适用：脉冲噪声
  缺点：必须知道是明噪声还是暗噪声

3.2 顺序统计滤波器

顺序统计滤波器的响应是基于由滤波器包围的图像区域中像素点的排序，任一点的响应由排序结果决定。
- 中值滤波器
描述： f^(x,y)=median(s,t)∈Sxy{g(s,t)}
结果：具有良好的去噪能力，相同尺寸下比线性平滑滤波器引起的模糊较少
适用：对单极或双极脉冲噪声非常有效

• 最大值滤波器
  描述： f^(x,y)=max(s,t)∈Sxy{g(s,t)}
  结果：
  适用：发现图像中的最亮点，故适用于去除“胡椒”噪声

• 最小值滤波器
  描述： f^(x,y)=min(s,t)∈Sxy{g(s,t)}
  适用：发现图像中的最暗点，适用于去除“盐”噪声

• 中点滤波器
  描述： f^(x,y)=[max(s,t)∈Sxy{g(s,t)}+min(s,t)∈Sxy{g(s,t)}]
  适用：结合了顺序统计和求平均，对高斯和均匀随机分布的噪声有很好的效果

• 修正后的阿尔法均值滤波器
  描述： f^(x,y)=1mn∑(s,t)∈Sxy{gr(s,t)}
  在 Sxy 邻域内取点g（s，t）最高灰度值的d/2和最低灰度值的d/2，用 gr(s,t) 来代表剩余的mn-d个像素，由这些剩余像素点的平均值形成的滤波器称为修正后的阿尔法均值滤波器
  当d=0时，退变为算术均值滤波器；当d=（mn-d）/2时，退变为中值滤波器。
  适用：对多重混合的噪声有很好的效果

3.3 自适应滤波器

自适应滤波器的行为变化基于由m*n矩形窗口Sxy定义的区域内图像的统计特性，它的性能要明显优于前面介绍的滤波器，代价是滤波器的复杂度。

• 自适应、局部噪声消除滤波器
  描述： f^(x,y)=g(x,y)−σ2ησ2L[g(x,y)−mL]
  其中
  σ2η ， g(x,y) 形成的噪声方差
  mL ，局部像素点的均值
  σ2L ，局部方差
  滤波器性能预期：
  （1）如果 σ2η 为零，滤波器应该简单的返回g（x，y）的值。
  （2）如果局部方差与 σ2η 是高度相关的，那么滤波器要返回一个g（x，y）的近似值。
  （3）如果两个方差相等，希望滤波器返回区域Sxy上像素的算术均值。
  一个关键的问题是 σ2η 未知，需要进行估计，合理的估计会带来较好的滤波效果。
  适用：防止由于缺乏图像噪声方差知识而产生的无意义结果，适用均值和方差确定的加性高斯噪声。
• 自适应中值滤波器
  描述：自适应中值滤波算法分两层进行
  先考虑如下符号：
  Zmin=Sxy中灰度值的最小值
  Zmax=Sxy中灰度值的最大值
  Zmed=Sxy中灰度值的中间值
  Zxy=在坐标（x，y）上的灰度值
  Smax=Sxy允许的最大尺寸
  算法流程：
  A层： A1=Zmed-Zmin；
  A2=Zmed-Zmax；
  如果A1>0且A2<0（即Zmin