动态规划-07依赖背包

按照《背包九讲》的顺序，本文主要讲其第七讲-依赖背包，所谓“依赖背包”即指背包物件有主附件，类似的解释之前在“二维费用背包”中提到过，不过这里的主附件是从属关系，即选择主件，必须要选择附件，而附件的类别又可以有很多种，同样的附件也可以有附件，这样如此反复，即会形成一个“树形DP”，其结果和考虑的情况将呈指数型增长，所以无法写成类似于“01背包”的方程式，但如果给定限定条件，我们同样也可以将其转换成类似“01背包”或者“完全背包”等形式来解决。

本文设计的题目为牛客网的华为OJ题——购物单。

问题描述：

 

王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1 ~ 5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

    设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j 1 ， j 2 ，……， j k ，则所求的总和为：

v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。（其中 * 为乘号）

    请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。

输入描述：

输入的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m

（其中N（<32000）表示总钱数，m（<60）为希望购买物品的个数）从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数v p q（其中v表示该物品的价格（v<10000），p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号）

输出描述：

输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000）。

具体的题目如下：

具体的Java实现代码如下：

//这里用一维数组进行讲解
	private static int bp_rely(int m,int n,int[] w,int[] v,int[] q){
		int[] c = new int[m+1];
		for (int i = 0; i < m+1; i++) {
			c[i] = 0;
		}
		List list = new ArrayList<>();
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			list.clear();
			if (q[i] == 0) {
				for (int j = m; j >= w[i]; j--) {
					list.add( Math.max(c[j-w[i]] + v[i], c[j]));
					c[j] = Math.max(c[j-w[i]] + v[i], c[j]);
				}
			}else {
				for (int j = m; j >= (w[i]+w[q[i]]); j--) {
					list.add(Math.max(c[j-w[i]-w[q[i]]] + v[q[i]], c[j]));
					c[j] = Math.max(c[j-w[i]-w[q[i]]] + v[q[i]], c[j]);
				}
			}
		}
		int max = Collections.max(list);
	return max;	
	}

上述代码中，需要注意的地方是根据判断q是否为“0”来确定该物件是“主件”还是“附件”，而如果是附件，则必须先购买主件才能购买附件，即下面的代码：

Math.max(c[j-w[i]-w[q[i]]] + v[q[i]], c[j]) //w[i]和w[q[i]]分别为主件和附件的价格

上述如果有什么纰漏或错误，欢迎批评指正。