求素数的几种高效方法

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求解一个算法,我们首先要知道它的数学含义.依据这个原则,首先我们要知道什么是素数.; 素数是这样的整数,它除了表示为它自己和1的乘积以外,无论他表示为任何两个整数的乘积。

找素数的方法多种多样。

1：是从2开始用“是则留下，不是则去掉”的方法把所有的数列出来（一直列到你不想再往下列为止，比方说，一直列到10，000）。第一个数是2，它是一个素数，所以应当把它留下来，然后继续往下数，每隔一个数删去一个数，这样就能把所有能被2整除、因而不是素数的数都去掉。在留下的最小的数当中，排在2后面的是3，这是第二个素数，因此应该把它留下，然后从它开始往后数，每隔两个数删去一个，这样就能把所有能被3整除的数全都去掉。下一个未去掉的数是5，然后往后每隔4个数删去一个，以除去所有能被5整除的数。再下一个数是7，往后每隔6个数删去一个；再下一个数是11，往后每隔10个数删一个；再下一个是13，往后每隔12个数删一个。就这样依法做下去。

但是编程我们一般不采用上面的方法，并不说这中方法计算机实现不了，或者说实现算法比较复杂。因为它更像一个数学推理。最后我们也给一个算法。

下面我们介绍几种长用的编程方法。

       2： 遍历２以上Ｎ的平方根以下的每一个整数，是不是能整除Ｎ ;( 这是最基本的方法）

       3 ：遍历２以上Ｎ的平方根以下的每一个素数，是不是能整除Ｎ ;( 这个方法是上面方法的改进，但要求 N 平方根以下的素数已全部知道 )
       4 ：采用 Rabin-Miller 算法进行验算；

例如：Ｎ = ２ ^ １２７ - １是一个３８位数，要验证它是否为素数，用上面几个不同的方法：

验算结果，假设计算机能每秒钟计算１亿次除法，那么
算法 2 要用４１３６年，算法 3 要用９３年，算法 4 只要不到１秒钟！ ( 这些数据是通过计算得到 )

 

另外印度有人宣称素数测试是 P 问题，我一直没有找到那篇论文，听说里面有很多数学理论。如果那位大人有这篇论文，麻烦转发一份（ E-Mail:[email protected] ）有任何问题也可以写信与我讨论。

 

下面我们分别实现上面的三种算法：

以下算法我们不涉及内存溢出，以及大数字的问题。如果测试数字超过2^32，发生内存溢出，你需要自己使用策略解决这个问题，在这里只讨论32位机有效数字算法。

1 ： //  算法0：是从2开始用“是则留下，不是则去掉”的方法把所有的数列出来

//  最后数组中不为0的数字就是要查找的素数。

void  PrimeNumber0()

{

     //   int time ::GetTickCount();

     //   cout << "start time:" << time << endl;

 

     int Max[MAX_NUMBER];        //  在栈上分配，栈上空间要求一般都在2M之间，

     //    如果你需要更大空间，请在堆上申请空间(就是通过malloc，new来申请).

     memset(Max,0,MAX_NUMBER);

     for(int i = 0 ; i < MAX_NUMBER; ++i)

     {

          Max[i] = i;

     }

     int cout = 0;//  记录当前i的位置

 

     //  遍历整个数组

     for(i = 1; i < MAX_NUMBER; ++i)

     {

         if(Max[i] != 0 )//  如果数据不为0，说明是一个素数

         {

              int iCout = i;

              int j = Max[i];//  记录数组中数组位的数字，以便设置

              while((iCout+=j) < MAX_NUMBER)

              {

                   //  把不是素数的数位在数组中置为0

                   Max[iCout] = 0;

              }

              ++cout;

         }

     }

 

     //   int time ::GetTickCount();

     //   cout << "end time:" << time << endl;

}

 

2 ：这个算法可以修改成为，验证一个给定数字是否是一个素数。

//  因为我们讨论多个算法，所以我们把每个算法都单独

//  写在一个或多个函数内。这些函数并不要求输入值和返回值

//  如果你需要这些结果，可以自己修改。

 

//  算法1：遍历２以上Ｎ的平方根以下的每一个整数，是不是能整除Ｎ;

void  PrimeNumber1()

{

//   int time ::GetTickCount();

//   cout << "start time:" << time << endl;

 

     int Max[MAX_NUMBER/2];      //  在栈上分配，栈上空间要求一般都在2M之间，

//    如果你需要更大空间，请在堆上申请空间(就是通过malloc，new来申请).素数的个数很少

//  所以没有必要申请和所求数字同样大小的空间。

     memset(Max,0,MAX_NUMBER);

     Max[0] = 2;//  放入第一个素数，有人说2不是素数，如果你是其中一员，就改成3吧

     int cout = 1;//  记录素数个数

 

     //  挨个数进行验证

     bool bflag = true;

     for(int i = 3; i < MAX_NUMBER; ++i)

     {

         bflag = true;

         //  需要是使用数学库（math.h）中sqrt

         int iTemp = (int)sqrt((float)i);//  强制转换成int类型,有的人在这里使用i＋1就是为了增加sqrt的精度

         //  没有特殊函数，你也可以使用int iTemp = (int)sqrt(i)＋1;来提高进度

         for (int j = 2; j < iTemp; ++j)

         {

              if(i%j == 0)//  求余，如果为0说明，可以整除，不是素数。

              {

                   bflag = false;

                   break;

              }

         }

         //  经过验证是素数，放入数组。

         if(bflag)

         {

              Max[cout++] = i;

         }

     }

 

//   int time ::GetTickCount();

//   cout << "end time:" << time << endl;

 

}

 

3 ：这个方法是上面方法的改进，但要求N平方根以下的素数已全部知道

//  算法2：遍历２以上Ｎ的平方根以下的每一个素数，是不是能整除Ｎ;

// ( 这个方法是上面方法的改进，但要求N平方根以下的素数已全部知道)

void  PrimeNumber2()

{

     //   int time ::GetTickCount();

     //   cout << "start time:" << time << endl;

 

     int Max[MAX_NUMBER/2];      //  在栈上分配，栈上空间要求一般都在2M之间，

     //    如果你需要更大空间，请在堆上申请空间(就是通过malloc，new来申请).素数的个数很少

     //  所以没有必要申请和所求数字同样大小的空间。

     memset(Max,0,MAX_NUMBER);

     Max[0] = 2;//  放入第一个素数，有人说2不是素数，如果你是其中一员，就改成3吧

     int cout = 1;//  记录素数个数

 

     //  挨个数进行验证

     bool bflag = true;

     for(int i = 3; i < MAX_NUMBER; ++i)

     {

         bflag = true;

         //  需要是使用数学库（math.h）中sqrt

         int iTemp = (int)sqrt((float)i);//  强制转换成int类型,有的人在这里使用i＋1就是为了增加sqrt的精度

         //  没有特殊函数，你也可以使用int iTemp = (int)sqrt(i)＋1;来提高进度

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

         //  修改的是这里以下的部分

         for (int j = 0; j < cout; ++j)

         {

              if(i%Max[j] == 0)//  求余，如果为0说明，可以整除，不是素数。

              {

                   bflag = false;

                   break;

              }

         }

         //  修改的是这里以上的部分

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

         //  经过验证是素数，放入数组。

         if(bflag)

         {

              Max[cout++] = i;

         }

     }

 

     //   int time ::GetTickCount();

     //   cout << "end time:" << time << endl;

 

}

 

4 ： 采用 Rabin-Miller 算法进行验算， Rabin-Miller 算法是典型的验证一个数字是否为素数的方法。判断素数的方法是Rabin-Miller概率测试，那么他具体的流程是什么呢。假设我们要判断n是不是素数，首先我们必须保证n 是个奇数，那么我们就可以把n 表示为 n = (2^r)*s+1,注意s 也必须是一个奇数。然后我们就要选择一个随机的整数a (1<=a<=n-1)，接下来我们就是要判断 a^s=1 (mod n) 或a^((2^j)*s)= -1（mod n）(0<=j

 

//  算法3：采用Rabin-Miller算法进行验算

// 首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。

 

// （1） 选择一个小于p的随机数a。

// （2） 设j=0且z=a^m mod p

// （3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数

// （4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数

// （5） 设j=j+1。如果jp-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。

// （6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数

 

//  判定是否存在 a^s=1 (mod n) 或a^((2^j)*s)= -1（mod n）(0<=j

 

bool  Witness(int a,int n)

{

     //  解释一下数学词汇：

     // ceil 求不小于x的最小整数，函数原型extern float ceil(float x);求得i的最大值

     // log 计算x的自然对数,函数原型extern float log(float x);

     long i,d=1,x;

     for (i=(int)ceil(log((double)n-1)/log(2.0))-1;i>=0;--i)

     {

         x=d;

         d=(d*d)%n;

         if ((1==d) && (x!=1) && (x!=n-1))

         {

              return 1;

         }

         if ((n-1)&(1<0))

         {

              d=(d*a)%n;

         }

     }

     return (d!=1);

 

}

 

//  参数n，是要测定的数字，s是要内部测试的次数。

bool  Rabin_Miller(int n,int s)

{

     for (int j = 0;j < s; ++j)

     {

          int a = rand()*(n-2)/RAND_MAX + 1;//  获得一个随机数1<=a<=n-1

         if (Witness(a,n))//  利用这个随即数和n进行判断对比，只要有一次返回true，就说明n不是一个素数

         {

              return false;

         }

     }

     return true;//  通过验证是一个素数

}

 

//  算法3：采用Rabin-Miller算法进行验算

//  这个算法是求大素数使用的。所以你的必须想办法支持大数字运算，

//  不然极易造成内存访问失效,我在我的机子上，MAX_NUMBER＝10000时就会出现问题，1000就没有问题

void  PrimeNumber3()

{

    

     int Max[MAX_NUMBER/2];//  在栈上分配，栈上空间要求一般都在2M之间，

     //    如果你需要更大空间，请在堆上申请空间(就是通过malloc，new来申请).素数的个数很少

     //  所以没有必要申请和所求数字同样大小的空间。

     int cout = 0;//  记录素数个数

     memset(Max,0,MAX_NUMBER/2);

 

     for(int i = 2; i < 1000; ++i)

     {

         if(Rabin_Miller(i,20))

         {

              Max[cout++] = i;

         }

     }

}

 

以上程序都经过测试，测试环境Window 2003＋VC7.1

小结：以上只是简单介绍一下求素数的几种常用方法，实际方法远远不知这些。对于普通用户来说算法2就可以方便应用了。Rabin－miller算法，确实很高效，但是如果你对数学，编程知识不是很熟悉，建议不要使用。

如果使用过程中有任何疑问请与我联系。

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