tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits中的“logits”到底是个什么意思？

tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits函数是TensorFlow中常用的求交叉熵的函数。其中函数名中的“logits”是个什么意思呢？它时不时地困惑初学者，下面我们就讨论一下。

1. 什么是logits？

说到Logits，首先要弄明白什么是Odds？

在英文里，Odds的本意是指几率、可能性。它和我们常说的概率又有什么区别呢？

在统计学里，概率（Probability）描述的是某事件A出现的次数与所有事件出现的次数之比:

 

P(A) = 发生事件A的次数  /  所有事件的次数。     （公式1）

很显然，概率 P是一个介于0到1之间的实数； P=0,表示事件A一定不会发生，而P=1,则表示事件A一定会发生。

以掷骰子为例，由于骰子为6面，任意一面上点数概率都是相同。所以，事件A：掷出点数为1的概率为：

对比而言，Odds指的是事件发生的概率与事件不发生的概率之比：

 

Odds（A）= 发生事件A的概率  /  不发生事件A的概率    (公式2）

 

还拿掷骰子的例子说事，掷出点数为1的Odds为：

 

很明显，Odds和概率之间的关系为：

进一步简化可知，

  Odds（A）= 发生事件A次数 /  其他事件的次数（即不发生A的次数）   (公式3）

换句话说，事件A的Odds 等于 事件A出现的次数 和 其它（非A）事件出现的次数 之比；

相比之下，事件A的概率 等于 事件A出现的次数 与 所有事件的次数 之比。

很容易推导得知：

概率P（A）和Odds（A）的值域是不同的。前者被锁定在[0,1]之间，而后者则是.

这说了半天，有何logit有什么关系呢？

请注意Logit一词的分解，对它（it）Log（取对数），这里“it”就是Odds。下面我们就可以给出Logit的定义了：

     (公式4）

公式4实际上就是所谓Logit变换。

 

2.Logit变换的意义在哪里

与概率不同的地方在于，Logit的一个很重要的特性，就是它没有上下限，如图1所示。

 

                                                图1    Logit的示意图

 

通过变换，Logit的值域没有上下界限，这就给建模提供了方便。

想象这么一个场景，我们想研究某个事件A发送的概率P，P值的大小和某些因素相关，例如研究有毒药物的使用剂量大小（x）和被测小白鼠的死亡率（P）之间的关系。

很显然，死亡率P和x是正相关的，但由于P的值域在[0,1]之间，而x的取值范围要宽广得多。P不太可能是x的线性关系或二次函数，一般的多项式函数也不太适合，这就给此类函数的拟合（回归分析）带来麻烦。

此外，当P接近于0或1的时候，即使一些因素变化很大，P的值也不会有显著变化。

例如，对于高可靠系统，可靠度P已经是0.997了，倘若在改善条件、提高工艺和改进体系结构，可靠度的提升只能是小数点后后三位甚至后四位，单纯靠P来度量，已经让我们无所适从，不知道改善条件、提高工艺和改进体系结构到底有多大作用。

再比如，宏观来看，灾难性天气发送的概率P非常低（接近于0），但这类事件类似于黑天鹅事件（特征为：影响重大、难以预测及事后可解释），由于P对接近于0的事件不敏感，通过P来度量，很难找到刻画发生这类事件的前兆信息。

这时，Logit函数的优势就体现出来了。从图1可以看出，在P=0或P=1附近，Logit非常敏感（值域变化非常大）。通过Logit变换，P从0到1变化时，Logit是从到。Logit值域的不受限，让回归拟合变得容易了！

通常，Logit对数的底是自然对象e，这里我们把Odds用符号表示，则有：

     (公式5）

显然，知道后，我们也容易推导出概率的值来：

       (公式  6）

通常，我们先借助Logit变换，让我们方便拟合数据（即逻辑回归），然后再变换回我们熟悉的概率。就是这么一个循环，为数据分析提供了便利。某种程度上，这类变换，非常类似于化学中的催化剂。

在化学反应里，催化剂能改变反应物化学反应速率而不改变化学平衡，且本身的质量和化学性质在化学反应前后都没有发生改变。

如果我们在把公式（6）做一下变形，如分子和分母同乘以 ，可得到公式（7）：

      (公式7）

如果你认真观察的话，就会发现，它其实就是在神经网络种广泛使用的Sigmoid函数，又称对数几率函数（logistic function）。

通常，我们把公式（5）表示的便于拟合的“概率替代物”称为logits。事实上，在多分类（如手写识别等）中，某种分类器的输出（即分类的打分），也称为logits，即使它和Odds的本意并没有多大联系，但它们通过某种变换，也能变成“概率模型”，比如下面我们即将讲到的Softmax变换。

3. TensorFlow中的Softmax函数

再回到softmax函数的讨论上。

tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(
    _sentinel=None,
    labels=None,
    logits=None,
    dim=-1,
    name=None
)

这个函数的功能就是计算labels和logits之间的交叉熵（cross entropy）。

第一个参数基本不用。此处不说明。
第二个参数label的含义就是一个分类标签，所不同的是，这个label是分类的概率，比如说[0.2,0.3,0.5]，labels的每一行必须是一个概率分布（即概率之合加起来为1）。

现在来说明第三个参数logits，logit的值域范围[-inf,+inf]（即正负无穷区间）。我们可以把logist理解为原生态的、未经缩放的，可视为一种未归一化的l“概率替代物”，如[4, 1, -2]。它可以是其他分类器（如逻辑回归等、SVM等）的输出。

例如，上述向量中“4”的值最大，因此，属于第1类的概率最大，“1”的值次之，所以属于第2类的概率次之。

交叉熵（Cross Entropy）是Shannon信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息。

由于logis本身并不是一个概率，所以我们需要把logist的值变化成“概率模样”。这时Softmax函数该出场了。Softmax把一个系列的概率替代物（logits）从[-inf, +inf] 映射到[0,1]。除此之外，Softmax还保证把所有参与映射的值累计之和等于1，变成诸如[0.95, 0.05, 0]的概率向量。这样一来，经过Softmax加工的数据可以当做概率来用（如图2所示）。

经过softmax的加工，就变成“归一化”的概率（设为p1），这个新生成的概率p1，和labels所代表的概率分布（设为p2）一起作为参数，用来计算交叉熵。

这个差异信息，作为我们网络调参的依据，理想情况下，这两个分布尽量趋近最好。如果有差异（也可以理解为误差信号），我们就调整参数，让其变得更小，这就是损失（误差）函数的作用。

最终通过不断地调参，logit被锁定在一个最佳值（所谓最佳，是指让交叉熵最小，此时的网络参数也是最优的）。softmax和交叉熵的工作流程如图3所示

 

图3 从Odds值到概率值（图片来源：互联网）

 

下面我们列举一个案例说明：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu May 10 08:32:59 2018

@author: yhilly
"""

import tensorflow as tf

labels = [[0.2,0.3,0.5],
          [0.1,0.6,0.3]]
logits = [[4,1,-2],
          [0.1,1,3]]

logits_scaled = tf.nn.softmax(logits)
result = tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=labels, logits=logits)

with tf.Session() as sess:
    print (sess.run(logits_scaled))
    print (sess.run(result))

运行结果：

[[0.95033026 0.04731416 0.00235563]
 [0.04622407 0.11369288 0.84008306]]
[3.9509459 1.6642545]

需要注意的是：


（1）如果labels的每一行是one-hot表示，也就是只有一个地方为1（或者说100%），其他地方为0（或者说0%），还可以使用tf.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits()。之所以用100%和0%描述，就是让它看起来像一个概率分布。
（2）tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits（）函数已经过时 (deprecated)，它在TensorFlow未来的版本中将被去除。取而代之的是

tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits_v2（）。

 (3)参数labels,logits必须有相同的形状 [batch_size, num_classes] 和相同的类型(float16, float32, float64)中的一种，否则交叉熵无法计算。

（4）tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits 函数内部的 logits 不能进行缩放，因为在这个工作会在该函数内部进行（注意函数名称中的 softmax ，它负责完成原始数据的归一化），如果 logits 进行了缩放，那么反而会影响计算正确性。

 

节选自 张玉宏《深度学习之美》第11章节，电子工业出版社，博文视点，2018年7月出版