【leetcode】全排列问题+位运算+补码
文章目录
- 说明：
- 字符串的排列组合题型集合
- 字符串的全排列
- 题目
- 算法思想
- 递归方法1（July 方法）：
- 递归方法2：
- 字符串的全组合
- 方法1：递归
- 方法2：位图
- 有限制的组合 C(n,k)
- 题目
- 解题思路
- 拓展：补码知识
- 拓展：位操作
- 1. 求整数的二进制表示中有多少个 1
- 方法1
- 2. 求NextN
- 方法1： 简单枚举
- 方法2： O(1)时间高效方法
- 3. 超级棒的位运算总结
说明：
原文：July 算法习题 - 字符串4（全排列和全组合）
https://segmentfault.com/a/1190000002710424
【july的算法讲解及其推荐啊，非常透彻！】
字符串的排列组合题型集合
字符串的全排列
题目
设计一个算法，输出一个字符串字符的全排列。
比如，String = “abc”
输出是"abc",“bac”,“cab”,“bca”,“cba”,“acb”
算法思想
从集合依次选出每一个元素，作为排列的第一个元素，然后对剩余的元素进行全排列，如此递归处理；
比如：首先我要打印abc的全排列，就是第一步把a 和bc交换（得到bac,cab），这需要一个for循环，循环里面有一个swap，交换之后就相当于不管第一步了，进入下一步递归，所以跟一个递归函数， 完成递归之后把交换的换回来，变成原来的字串
递归方法1（July 方法）：
abc 为例子：
- 固定a, 求后面bc的全排列： abc, acb。 求完后，a 和 b交换； 得到bac,开始第二轮
- 固定b, 求后面ac的全排列： bac, bca。 求完后，b 和 c交换； 得到cab,开始第三轮
- 固定c, 求后面ba的全排列： cab, cba
即递归树：
str: a b c
ab ac ba bc ca cb
result: abc acb bac bca cab cba
public static void Permutation(char[] s, int from, int to) {
if(to<=1)
return;
if(from == to){
System.out.println(s);
}
else{
for(int i=from;i<=to;i++){
swap(s,i,from);
Permutation(s,from+1,to);
swap(s,from,i);
}
}
}
public static void swap(char[] s, int i, int j) {
char temp = s[i];
s[i] = s[j];
s[j] = temp;
}
递归方法2：
与上面算法区别：
本算法需要一个额外的存储空间存放结果（buffer），固定第一个位置是哪个元素的时候，是通过一个循环,然后看原始字符串上，每一个位置是什么元素。July的做法没有结果的buffer，都是在一个字符串上进行的操作。第一个swap的作用就是，依次拿起始字符和后面的每一个字符交换，这样就能遍历第一个位置上的所有可能字符
n个数的全排列，一共有n！种情况. （n个位置，第一个位置有n种，当第一个位置固定下来之后，第二个位置有n-1种情况…）
全排列的过程：
- 选择第一个字符
- 获得第一个字符固定下来之后的所有的全排列
- 选择第二个字符
- 获得第一+ 二个字符固定下来之后的所有的全排列
从这个过程可见，这是一个递归的过程。
还有一点需要注意是：
之前递归过程选择的字符，下一次不能再被选： 第一个位置选了a, 其他位置就不能选a了
解决方法是1. 扫描之前选择的字符 或者 2.创建一个与字符串等长的boolean数组，标记该位置对于的字符是否已经选择。若选择，则标记true; 若未选择，则标记false.
个人认为这个算法不如第一个递归方法，因为需要额外的空间；但是二者的时间复杂度是相同的，都是O(n！)。
public class Permutation {
public static void permute(String str){
int length = str.length();
boolean[] used = new boolean[length];
StringBuffer output = new StringBuffer(length);
permutation(str,length,output,used,0);
}
// @para
// position : 下一个放置的元素位置,所以调入时候是0
//
static void permutation(String str, int length, StringBuffer output, boolean[] used, int position){
// end of the recursion
if(position == length){
System.out.println(output.toString());
return;
}
else{
for(int i=0;i<length;i++){
// skip already used characters
if(used[i])
continue;
// add fixed character to output, and mark it as used
output.append(str.charAt(i));
used[i] = true;
// permute over remaining characters starting at position+1
// recursion
permutation(str,length,output,used,position+1);
// remove fixed character from output and unmark it
output.deleteCharAt(output.length()-1);
used[i] = false;
}
}
}
字符串的全组合
输入三个字符 a、b、c，则它们的组合有a b c ab ac bc abc。当然我们还是可以借鉴全排列的思路，利用问题分解的思路，最终用递归解决。
方法1：递归
方法2：位图
不过这里介绍一种比较巧妙的思路 —— 基于位图。
假设原有元素n个，最终的组合结果有2^n - 1. 可以使用2^n - 1个位，1表示取该元素，0表示不取。 所以a表示001,取ab是011。
001,010,011,100,101,110,111。对应输出组合结果为：a,b,ab,c,ac,bc,abc。
因此可以循环 1~2^n-1(字符串长度)，然后输出对应代表的组合即可。
public static void Combination(char [] s){
if(s.length == 0){
return;
}
int len = s.length;
int n = 1<<len;
//从1循环到2^len-1
for(int i=0;i<n;i++){
StringBuffer sb = new StringBuffer();
//查看第一层循环里面的任意一种取值当中的哪一位是1[比如ab,011]， 如果是1，对应的字符就存在，打印当前组合。
for(int j=0;j<len;j++){
// 1<
if( (i & (1<<j)) != 0) // 对应位上为1，则输出对应的字符
{
sb.append(s[j]);
}
}
System.out.print(sb + " ");
}
}
有限制的组合 C(n,k)
题目
Given two integers n and k, return all possible combinations of k numbers out of 1 … n.
For example,
If n = 4 and k = 2, a solution is:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
解题思路
基于位操作，这里我们主要借助一个二进制操作 “ 求最小的、比 x 大的整数 M，使得 M 与 x 的二进制表示中有相同数目的 1”，如果这个操作已知，那么我们可以设置一个初始整数 bit，bit 的低位第 1至k 个二进制位为 1，其余二进制位为 0，bit 的二进制表示一种组合，然后调用上述操作求得下一个 bit，bit 的最大值为：bit 从低位起第 n-k+1至n 位等于 1，其余位等于 0，即 (1< 补码表示法里10000000是-128，没有-0只有0。 【可以看图计算 1+ （-128），结果就是-127】 作者：Huan Chen 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。 应用了n&=(n-1)能将 n 的二进制表示中的最右边的 1 翻转为 0 的事实。只需要不停地执行 n&=(n-1)，直到 n 变成 0 为止，那么翻转的次数就是原来的 n 的二进制表示中 1 的个数，其代码如下： 给定一个正整数 N，求最小的、比 N 大的正整数 M，使得 M 与 N 的二进制表示中有相同数目的 1 从 N+1 开始枚举，对每个数都测试其二进制表示中的 1 的个数是否与 N 的二进制表示中 1 的个数相等，遇到第一次相等时就停止 用位运算生成下一个含有k个1的二进制数 我们对上述算法做一个简单的说明： 位运算简介及实用技巧（一）：基础篇 and运算 or运算 xor运算 not运算 shl运算 shr运算 下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。 public static List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
if(n == 0 | k>n){
return null;
}
int len = n;
int nbit = 1<<len;
int kbit = 1<<k;
int inbit = 1<<n - 1<<(n-k);
List<List<Integer>> result = new ArrayList<List<Integer>>();
//从1循环到2^len-1
// i = nextn(i)每次生成下一个组合二进制
for(int i=kbit-1; i<= inbit; i = nextn(i)){
List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
for(int j=0;j<len;j++){
if( (i & (1<<j)) != 0) // 对应位j上为1，则输出对应的字符
{
list.add(j+1);
}
}
result.add(list);
}
return result;
}
// 返回最小的，比N大的整数M，使M与N的二进制有相同数目的1
public static int nextn(int k){
int x = k & (-k);
int t = k+x;
return t | ((k^t)/x)>>2;
}
拓展：补码知识
【127（0111,1111） + (-1)(1111,1111) = 126 ((1)0111,1110),计算过程中发生了溢出，符号位并没有特殊计算规则，就是自然进位的，溢出的直接截断】
链接：https://www.zhihu.com/question/21511392/answer/83131677
来源：知乎
、除了-0这个特例以外，符号位是否参与运算并不影响结果，而在补码中把-0剔除了，把10000000变成-128，其补码是128，溢出了。从最终结果看，可以认为是符号位参与了运算，但是也可以认为是128超出表示范围，结果未定义。总之，符号是否参与运算对结果没有影响，可以认为不存在-0。
作者：下愚
链接：https://www.zhihu.com/question/21511392/answer/18469269
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。拓展：位操作
1. 求整数的二进制表示中有多少个 1
方法1
public int count1Bits(int n){
int count = 0;
while(n!=0){
count++;
n = n & (n-1);
}
return count;
}
2. 求NextN
方法1： 简单枚举
public int GetNextN(int n){
int k = count1Bits(n);
do{
n++;
}while(count1Bits(n) != k);
return n;
}
方法2： O(1)时间高效方法
https://www.cnblogs.com/one-piece/archive/2010/06/06/1752726.html
核心思想：
在草稿纸上随便举几个例子，规律很容易看出来。由于“1”的个数是固定的，为了让这个二进制数更大，我们必须把第一个出现在“1”左边的“0”改成“1”；同时，为了让这个二进制数尽可能小，我们必须把它右边那些“1”重新排到最低位去。
b = x & -x;
t = x + b;
c = t & -t;
m = (c/b >> 1) - 1;
r = t | m; //最终结果
操作
样例
说明
x
01011100
原数
-x
10100011 + 1 = 10100100
对应的复数补码（所有位取反+1）
b = x & -x
00000100
提取x的右起第一个“1”
t = x + b
01100000
把x的右起第一个位于某个“1”左边的“0”变成“1”，并把它右边的那些“1”都变为“0”
c = t & -t
00100000
提取t的右起第一个“1”
c / b
00001000
右移c中的那个“1”，其结果中最低位连续的“0”的个数正好是c和b中的“1”相差的距离
m = (c/b >> 1) - 1
00000011
在最低位产生数字“1”，其个数比上述的“距离”少1
r = t | m
01100011
最终结果
public int NextN(int n){
int x = n&(-n);
int t = n + x;
int ans = t | ((n^t)/x)>>2;
return ans;
}
3. 超级棒的位运算总结
http://www.matrix67.com/blog/archives/263
C语言
Pascal语言
a & b
a and b
a
b
a ^ b
a xor b
~a
not a
a << b
a shl b
a >> b
a shr b
and运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数.
or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。
xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，因为异或可以这样定义：0和1异或0都不变，异或1则取反。
xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即(a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密
not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。
a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。
通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。
定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 – 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。
和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。
功能
示例
位运算
去掉最后一位
(101101->10110)
x >> 1
在最后加一个0
(101101->1011010)
x << 1
将右起第一个1变成0，并将该位之后的连续0全部变成1，前面部分不变
1001,1000->1001,0111
x-1， 遇到右起第一个1，它的影响就停止了
将右起的第一个0变成1，并将该位之后的连续1全部变成0，前面部分不变
1001,0111->1001,1000
x+1，遇到右起第一个0，它的影响就停止了
在最后加一个1
(101101->1011011)
x << 1+1 , << 的优先级更高
把最后一位变成1
(101100->101101)
x | 1
把最后一位变成0
(101101->101100)
x | 1-1
最后一位取反
(101101->101100)
x ^ 1
把右数第k位变成1
(101001->101101,k=3)
x | (1 << (k-1))
把右数第k位变成0
(101101->101001,k=3)
x & ~(1 << (k-1))
右数第k位取反
(101001->101101,k=3)
x ^ (1 << (k-1))
取末三位
(1101101->101)
x & 7
取末k位
(1101101->1101,k=5)
x & ((1 << k )-1), << 的优先级更高
取右数第k位
(1101101->1,k=4)
x >> (k-1) &1
把末k位变成1
(101001->101111,k=4)
x | (1 << k-1)
末k位取反
(101001->100110,k=4)
x ^ (1 << k-1)
把右边连续的1变成0
(100101111->100100000)
x & (x+1)
把右起第一个0变成1
(100101111->100111111)
x | (x+1), 其他部分试图保持，则用或
把右边连续的0变成1
(11011000->11011111)
x | (x-1)
取右边连续的1
(100101111->1111)
(x ^ (x+1)) >> 1
去掉右起第一个1的左边
(100101000->1000)
x & (x ^ (x-1)), 最后这一个在树状数组中会用到。