欧拉是如何计算圆周率的（一）

从牛顿时代以后，计算圆周率就不是必要的工作了，而是一种消遣。牛顿计算的时候，用的是面积法，或者反正弦函数的多项式展开。

欧拉也用一种展开式，反正切的展开式。但是，很独特，与现在常用的反正切大为不同。现在常用的反正切展开式是：

反正切的一种展开

这个公式在欧拉出生前就存在了，为什么呢？据我考证，欧拉出生于1707年，马青发现马青公式的年份是1706年。马青早就把圆周率计算超过了100位。马青用的是这种展开。这种展开，是1671年2月15日，詹姆斯-格雷戈里发现的。公式的限制条件是x大于-1,小于等于1。因此，欧拉计算圆周率纯属消遣。

欧拉使用的独特的反正切展开：

欧拉的反正切公式

尽管直接用arctan(1)可以得到一个简洁优美的表达式，但传说中欧拉使用的是PI/4= arctan(1/7)+arctan(3/4) 来计算的。

复数的乘法

这样两个复数的乘积表明，可以这样选择。欧拉喜欢用复数，不太用正切的和角公式。

反正切之和表示

关键是，1/7并没有带来我们通常以为的麻烦，在欧拉的公式中，变成了0.02的幂。欧拉用这个公式，在1个小时之内完成了20位圆周率的计算。现代的人，必须用计算机才能完成。
前几项的结果如下：
2.48 0.46826667 0.13282986 0.040952686 0.01310424
0.004288649 0.0014251509 4.788507e-4 1.6224588e-4
5.5334385e-5 1.897179e-5 6.5328945e-6 2.2577683e-6
7.82693e-7 2.720533e-7 9.477986e-8 3.308679e-8
1.1570922e-8 4.05295e-9
1.4216501e-9 4.9931126e-10
1.7557178e-10 6.1801265e-11 2.1775085e-11