红黑树的理解与编写(c++实现)

红黑树的理解与c++编写

基础性质

红黑树是一种二叉搜索树,并且相对于二叉搜索树做了一定的改进。
红黑树具有下列五种性质:

  1. 根节点黑色。
  2. 每个节点为红色/黑色。
  3. 红色节点下两个节点必为黑色。
  4. 每一条从根至叶的路径上的黑节点数量相同。
  5. 每个叶节点都是黑的。

从五个性质可以得出的结论是,红黑树树内节点数 n2h/21 n ≥ 2 h / 2 − 1
证明省略,可以看CLRS第三版p174。

所以可以看出,红黑树相对于一个普通二叉树而言,对空间利用的更好。

红黑树操作

操作包括:

  • Search
  • Successor
  • Predecessor
  • Minimum
  • Maximum
  • Insert
  • Delete
  • InorderTreeWalk

红黑树操作不止于此,但是从最外层的“用户”角度来说,这些就足够了。然而这些外层操作需要调用的操作还有:
- LeftRotate
- RightRotate
- TransPlant
- InsertFixup
- DeleteFixup

其中左旋、右旋、两个Fixup算是红黑树的特色应用,用来保持红黑树的4性质。操作中Search、Successor等不涉及红黑树性质,只涉及节点值大小的操作与普通的二叉树并无二致,在此不表。

所以我主要集中在Insert和Delete两个函数上。这两个函数分别需要调用InsertFixup和DeleteFixup。

Insert操作

Insert函数事实上和普通二叉树的Insert也没有太多区别:
在不考虑节点具有相同值的情况下,从树根开始向下遍历,一直到一个NIL节点。(NIL节点代表一个空节点,可以作为根的父节点或者叶的子节点)然后将NIL节点替换为你的插入值。
但是加入对红黑树性质的考虑,因此我们有了InsertFixup。这个新节点的颜色被我们设置成红色,因为红色节点确保了性质4(每条路径上黑节点数目相同)的成立。所以引入一个红色节点,我们面临的问题可能是性质3(每个红色节点的子节点都是两个黑色节点)的挑战。如果性质3受到了挑战,我们就需要进入InsertFixup的步骤。而性质3受到挑战的先决条件是:新插入的节点的父节点是红色节点。在这样的情况下,两个红色节点连接在一起,红黑树受到了挑战。
那么在InsertFixup开始时,我们首先要记住的是只有性质3被违背时(也就是x.p是红色的),我们才需要不停fixup。这时候我们可以开始分类讨论。

将刚才插入的节点记为x。(每个节点具有p,left,right,color,key值)
最开始的时候需要明确的是除去x之外的整棵树具有完整的红黑树性质。基于这一点,以及x.p是红色的,易知x.p.p是黑色的。
首先我们的第一层假设是,x.p==x.p.p.left(记为uncle)。之所以做这个假设,是因为在InsertFixup当中,x的叔叔(在这个假设的前提下叔叔就是x.p.p.right)是非常重要的。
那么我们第二层假设是基于叔叔的颜色。如果uncle.color==red,我们就可以很轻松地解决x颜色与x.p之间红色碰撞的问题。因为uncle.color==x.p.color==red,所以x.p.p.color==black.(性质3)接下来把x.p.p设置为红色(原为黑色),把x.p和uncle设置成黑色(原为红色)。那么性质4显然是不变的;并且性质3对于x而言也得到了满足。然而,因为x.p.p的颜色改变了,他有可能违背了性质3。所以,我们需要把x更新成为x.p.p。
我们第三层假设(uncle此时已经是黑色的了),是x是x.p的左孩子还是右孩子。如果x是x.p的左孩子,我们可以交换x.p与x.p.p的颜色并且对x.p.p进行一次右旋来解决,并且此循环到此结束。然而,如果x为x.p的左孩子,我们没有可以直接解决的方法;但是,我们可以对x.p进行一次左旋,并且将x更新为原来的x.p,这样这种情况就会被归于x为x.p的左孩子的情况,由此迎刃而解。
红黑树的理解与编写(c++实现)_第1张图片
重新回到第一层假设,如果x.p=x.p.p.right。这是一个镜像问题,只需要把左右操作左右对调即可。
最后,如果说你在操作变更过程中,不小心改变了根(root)的颜色,只需要在最后将root重置为黑色即可。

Delete操作

相比较于Insert,Delete与普通二叉搜索树的区别更大。Delete需要关注三个节点和一个颜色:即将删除的节点(记为toDelete),即将对toDelete取而代之的节点(记为toReplace),即将对toReplace取而代之的节点(记为tRTR),以及toReplace原本的颜色(记为original_color,是我们需要考虑是否对红黑树的性质造成了影响的颜色)。
首先我们需要考虑toDelete是否同时具有左右孩子。如果它没有左孩子,那么删除时只需要将右孩子移植到toDelete原先的位置上即可。另一种情况同理。那么在这种情况下,original_color应该是toDelete原先的颜色(而不是toReplace的)。因为我们直接移植了其中的一个孩子给toDelete,相当于toDelete的颜色消失了;所以original_color在这里应该是toDelete原先的颜色。而tRTR应该就是toReplace。
如果toDelete同时具有左右孩子,我们取他的后继(Successor)作为toReplace,并将toReplace.right记为tRTR。将toReplace原先的颜色记为original_color,然后将toRelace取代toDelete,将tRTR移植到toReplace的位置,将toReplace的颜色设置成和toDelete一样(这样我们可以保证toReplace及以上红黑性质不变,问题集中于tRTR的位置)。
在DeleteFixup之前,我们先要确定一点:只有original_color==black时,我们才需要fixup。如果original_color==red,红黑性质不会改变。
所以进入到DeleteFixup之中,我们要记住,我们删除了一个黑色的节点。也就是说,从我们删掉黑色的节点的位置向下的所有路径的黑高都少了1,也就违反了性质4。为此,我们需要假设当前取代了toReplace位置的节点(也就是tRTR)具有一层额外的黑色。我们在DeleteFixup里的任务就是,把这层额外的黑色一直向上移,直到出现一个合适的红色节点,使得我们可以把这层黑色给他,让他变成一个黑色节点。
所以如果当前被我们fixup的节点是红色的,我们的任务就结束了。只要把当前处理的节点变成黑色即可。
首先,我们的设置一个x节点(初始值与tRTR相同,这个x具有我们所说额外的黑色并且本身也是黑色——这是一个大前提)。
我们的第一个假设是,x==x.p.left。这样子,我们需要关注x.p.right(记为brother)。
第二个假设是,brother是红色的。这时,通过将brother和x.p颜色互换,x不变,我们重新构造了原树;此时brother变成了黑色的。
那么第二个假设的第二种情况就是brother是黑色的。此时可以继续就brother的孩子继续分类。
那么这里我们开始第三层假设。第一种情况是brother有两个黑孩子。那么此时,brother如果变成红色,brother仍然可以满足性质3。所以我们把brother变成红色,将x变为x.p。这样子对于brother分支而言,尽管缺少了一个黑节点(brother),但是又多了一个黑节点(x具有额外的一层黑色);对于x分支同样成立。
第二种情况是,brother右边是黑孩子,左边是红孩子。此时,通过交换brother和brother.left的颜色并且对brother进行一次右旋,可以把brother.right更新为原先brother.left的颜色(红色)。
红黑树的理解与编写(c++实现)_第2张图片
第三种情况就是,brother右边是红孩子,而左边不再重要。这种情况下的操作很巧妙:将brother和x.p交换颜色,然后将brother.right设置为黑色,最后对brother进行左旋。
红黑树的理解与编写(c++实现)_第3张图片
这种变换之后,在当前由ABCDE构成的小树种,A(x)的黑高增加了1,而其他两个叶子DE的黑高没有变化。所以是,合法的。

c++实现

redBlackTree
写的时候对于NIL的定义比较讲究,不能写在头文件里。原因我不是很清楚…

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