01背包问题

背包九讲： http://leafduo.com/oi/dd-pack/
分别运用递归，空间O(n*v)的递推和空间O(v)的递推解决01背包.

    bag:运用递归，状态为bag(int n, int v)，即 前n件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。写出状态转移方程： bag(n, v)=max(bag(n-1, v-cost[n])+weight[n],  bag(n-1, v))。终止条件为1. 背包容量小于零时（v<0）返回无穷小，因为是不可能发生的；2. 递归到第一个物品且此时背包容量小于第一个物品的重量（n==1 && v 递归到第一个物品且此时背包容量大于等于第一个物品的重量（n==1 && v>=cost[1]），返回第一个物品的价值（weight）。

    bag2运用空间度O(n*v)的递推。首先初始化，将数组f[][]成员全部置零。然后自底向上递推，  推f[n][v]时需要知道f[n-1][v-cost[n]]和f[n-1][v]两个值。其中需要考虑v-cost[n]小于零的情况：v-cost[n]小于零时f[n][v]=f[n-1][v]（因为bag(n, 负数)==负无穷大）。

    bag3将bag2的空间优化到O(v)。即只需要一维数组f2[]。所以每次递推n时需要覆盖原来f2中的数据。 f2[v]=max(f2[v-cost[n]]+weight[n], f2[v])。因为f2[v]需要知道f2[v-cost[n]的值，所以递推v时必须从后往前（即v=V....0）。此时可以对v的取值范围进行一次优化：当v-cost[n]小于零时，f2[v]=f2[v]，值保持不变，所以可以缩小v的范围至v=V....cost[n]。

    仔细考虑，还可以对v的范围优化，从最后一个物体向前考虑，因为只要得到最后f2[v]的答案，而f2[v]的答案来自于前一个物品f2[v]与f2[x]+weight[n]的最大值，所以前一个物品只需从后向前计算到f2[v-weight[n]]即可停止。以此类推第j个物品需要计算到f2[v-sum(weight[j]....weight[n])。此时又需要同cost取max，相见代码：）

1. #include 
2. #include 
3. #define MAXSIZE 2000
4. #define MINIMUM -10000000;
5. int cost[MAXSIZE];//数组下标从1开始
6. int weight[MAXSIZE];//数组下标从1开始
7. int f[200][MAXSIZE];
8. int f2[MAXSIZE];
9. int bag(int n, int v)//运用递归
10. {//前n件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值
11.     int val=0;
12.     if (v<0)
13.         return MINIMUM;
14.     if (n==1 && v
15.         return 0;
16.     if (n==1 && v>=cost[1])
17.         return weight[1];
18.     val=max(bag(n-1, v-cost[n])+weight[n], bag(n-1, v));
19.     return val; 
20. }
22. int bag2(int n, int v)//运用空间复杂度为O(n*v)递推
23. {
24.     int i, j;
25.     for (i=0; i<=n; i++){//初始化
26.         for (j=0; j<=v; j++){
27.             f[i][j]=0;
28.         }
29.     }
30.     for (i=1; i<=n; i++){
31.         for (j=0; j<=v; j++){
32.             if (j>=cost[i])
33.                 f[i][j]=max(f[i-1][j-cost[i]]+weight[i], f[i-1][j]);
34.             else
35.                 f[i][j]=f[i-1][j];
36.         }
37.     }
38.     return f[n][v];
39. }
41. int bag3(int n, int v)//运用空间复杂度为O(n)递推
42. {
43.     int i, j;
44.     for (i=0; i<=v; i++){//初始化  
45.         f2[i]=0;
46.     }
47.     for (i=1; i<=n; i++){
48.         for (j=v; j>=cost[i]; j--){
49.                 f2[j]=max(f2[j-cost[i]]+weight[i], f2[j]);
50.         }
51.     }
52.     return f2[v];
53. }
55. main(int argc, char *argv)
56. {
57.     int N, V;
58.     int i, res;
59.     freopen("01.txt", "r", stdin);
60.     while (scanf("%d%d", &V, &N)!=EOF){
61.         for (i=1; i<=N; i++)
62.             scanf("%d%d", &cost[i], &weight[i]);
63.         res=bag(N, V);
64.         printf("%d/n", res);
65.     }
66. }

再次经过优化的bag3:

1. int bag3(int n, int v)//运用空间复杂度为O(n)递推
2. {
3.     int i, j, sum=0, bound;
4.     for (i=0; i<=v; i++){//初始化  
5.         f2[i]=0;
6.     }
7.     weight[0]=0;
8.     for (i=1; i<=n; i++){
9.         sum+=weight[i];
10.     }
11.     for (i=1; i<=n; i++){
12.         sum-=weight[i-1];
13.         bound=max(v-sum, cost[i]);
14.         for (j=v; j>=bound; j--){
15.                 f2[j]=max(f2[j-cost[i]]+weight[i], f2[j]);
16.         }
17.     }
18.     return f2[v];
19. }