第九次作业

本次计算物理作业选做了88页3.32

用解析的方法得到碰撞之后的vx和vy的表达式，之后用表达式写程序，矩形的解析很简单，本作业主要做了圆形限制场内质点碰撞后的速度变化，并编程画图。

一，单位正方形内的轨迹：

GitHub源码链接

初始速度v=1m/s。

运行100s的轨迹散点图：

这是一种在动量守恒的情况下，质点在正方形边界限制下的运动轨迹，可看出其运动遵循简单的反射规律。

运行100s的vx-x散点图：

由以上两图可见，对于x轴上任意一个位置（因为是数值方法，所以是间断跳跃的位置），对应只有相同的两个值。二者代表着相同的速率大小和相反的速度方向，y轴相同，不同之处在于x轴和y轴对应的vx和vy的大小。

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二，圆形限制：

圆形限制下，质点速度的改变比正方形限制下的方向改变复杂

我求解析解的思路如下：

从单位圆圆周上向圆内发射速率v=1m/s的一质点，简单的几何分析之后易发现：该质点的前进直线与圆心之间有固定的距离的d，且每次入射与反射间的夹角恒定为 θ ，通过进一步几何分析易知，质点每两次相邻的与圆周碰撞点之间，两点处的圆周切线间有固定的夹角 θ ，由此质点在圆内任意一处的x和y方向速度得到解析解。

设初始时，第一个反射点的外切线正方向（规定逆时针为正方向）与x轴正方向夹角 β ，圆心坐标为（0，0），以x正方向起逆时针旋转为 θ 的正方向，记每条运动轨迹与圆心距离为d，则d对应了每次反射的夹角 θ ，由分析，初射速度方向的外切线与x正方向夹 β 角，经历一次反射后速度方向的外切线与x正方向夹角变成 

β = π - θ + β 

对应速度方向与x正方向夹角为

a = β + π/2 - θ/2 

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得到每次碰撞后的速度表达式

vx=v*cos（a）

vy=v*sin（a）

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因为反射过程中满足能量守恒，质点速率v不变，又因为夹角 β 已知，所以每次反射后质点的x和y方向速度可知，几何分析简图如下：

源码GitHub链接

编程绘图：

β =50° ，θ =10° ，步长为千分之一秒，共70秒内的轨迹图：

运行150秒，发现由误差累积造成的轨迹偏转已明显可见：

相应的vx-x图：

由上图可发现当质点速度完全沿x轴时，其速度vx=v=1m/s，而在其他位置，则小于v。

三，结论

由以上，我们通过求得速度改变的解析解表达式的方法，得到编程的核心程序部分，通过运行程序绘图我们发现在总时间不太长的情况下，程序得出的图是很规整的，但是当超过一定时间后（不断运行程序发现在70秒左右）有些参量由于误差累积使得绘图偏差变大，但这只是计算机本身的限制，理论上其轨迹应该是保持与圆心的距离d为常量不变的。