用动态规划算法解Travelling Salesman Problem（TSP）问题

基础知识

  Travelling Salesman Problem (TSP) 是最基本的路线问题。它寻求的是旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点后，再次返回起点所花费的最小路径成本，也叫旅行商问题、旅行推销员问题、担货郎问题等。
  动态规划算法（Dynamic Programming，简称DP）通常用于求解具有某种最优性质的问题，其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后由这些子问题的解再得到原问题的解。

动态规划的求解过程

  下面来验证一下此方法求解的可行性。
  设 s，s1，s2…s为满足题意的最短回路。假设从s到s1的路径已经确定，则问题转化为从s1到s的最短路径问题。而很显然，s1，s2…s一定可以构成一条最短路径，所以构成最优子结构性质，可以用动态规划求解。

动态规划方程的推导

  用 V’ 表示一个点的集合，假设从顶点 s 出发， d ( i , V’ ) 表示当前到达顶点 i，经过 V’ 集合中所有顶点一次的最小花费。

1. .当 V’ 为仅包含起点的集合，也就是
   $d(s,\{s\})=0$
2. 其他情况，则对子问题求最优解。需在 V’ 这个城市集合中，尝试每一个城市结点，并求出最优解。
   
3. 最后的求解方式为:
   

其中 S 为包含所有点的集合。把公式一套，题就解了。

状态压缩

  推到动态规划方程时，我们注意到 V’ 是一个数的集合，而且解决的问题规模比较小，于是可以用一个二进制数来存储这个集合。简单来说就是——如果城市 k 在集合 V’ 中，那么存储集合的变量 i 的第 k 位就为 1，否则为 0。由于有 n 个城市，所有的状态总数我们用 M 来表示，那么很明显：M = 2^n，而 0 到 2^n -1 的所有整数则构成了 V’ 的所有状态。这样，结合位运算，动归方程的状态表示就很容易了。

源码：

#include
#include
#include
using namespace std;
// 定义常量
const int INF = 0x3f3f3f3f;
#define sqr(x) ((x)*(x))
// 定义变量
string file_name;
int type; // type == 1 满秩矩阵格式, type == 2 二维坐标式
int s;
int N;// 城市结点数量
int init_point;
double **dp; // 动态规划状态数组dp[i][j]，i表示集合V’，j表示当前到达的城市结点
double **dis; // 两个城市结点之间的距离
double ans;
// 定义结构体
struct vertex {
	double x, y; // 城市结点的坐标
	int id; // 城市结点的id
	int input(FILE *fp) {
		return fscanf(fp, "%d %lf %lf", &id, &x, &y);
	}
}*node;

double EUC_2D(const vertex &a, const vertex &b) {
	return sqrt(sqr(a.x - b.x) + sqr(a.y - b.y));
}

void io() { // 数据读入
	printf("input file_name and data type\n");
	cin >> file_name >> type;
	FILE *fp = fopen(file_name.c_str(), "r");
	fscanf(fp, "%d", &N);
	node = new vertex[N + 5];
	dis = new double*[N + 5];
	if (type == 1) {
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			dis[i] = new double[N];
			for (int j = 0; j < N; j++)
				fscanf(fp, "%lf", &dis[i][j]);
		}
	}
	else {
		for (int i = 0; i < N; i++)
			node[i].input(fp);
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			dis[i] = new double[N];
			for (int j = 0; j < N; j++)
				dis[i][j] = EUC_2D(node[i], node[j]);// 计算城市之间的距离
		}
	}
	fclose(fp);
	return;
}

void init() { // 数据初始化
	dp = new double*[(1 << N) + 5];
	for (int i = 0; i < (1 << N); i++) {
		dp[i] = new double[N + 5];
		for (int j = 0; j < N; j++)
			dp[i][j] = INF;
	} // 初始化，除了dp[1][0]，其余值都为INF
	ans = INF;
	return;
}

double slove() {
	int M = (1 << N);
	// M就是第四部分所说的V’状态总数，1<

输入数据：

若城市数据文件如下所示：

     16
     1   38.24   20.42
     2   39.57   26.15
     3   40.56   25.32
     4   36.26   23.12
     5   33.48   10.54
     6   37.56   12.19
     7   38.42   13.11
     8   37.52   20.44
     9   41.23   9.10
   10   41.17   13.05
   11   36.08   -5.21
   12   38.47   15.13
   13   38.15   15.35
   14   37.51   15.17
   15   35.49   14.32
   16   39.36   19.56