隐马尔可夫模型HMM---《统计学习方法》第十章

标注问题

标注问题的输入是一个观测序列，输出是一个标记序列或状态序列。标注问题的目的在于学习一个模型，使它能够对观测序列给出标记序列作为预测。
标注常用的统计学习方法有：隐马尔可夫模型，条件随机场。
举例：给定一个由单词组成的句子，对这个句子中的每一个单词进行词性标注，即对一个单词序列预测其对应的词性标记序列。

隐马尔可夫模型

隐马尔可夫的基本概念

隐马尔可夫模型是关于时序的概率模型，描述了一个由隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测而产生观测随机序列的过程。
隐马尔可夫模型由初始状态概率向量 π π ,状态转移概率矩阵 A A 和观测概率矩阵 B B 决定。
隐马尔可夫模型是一个生成模型，表示状态序列和观测序列的联合分布，但是状态序列是隐藏的，不可观测的。
两个基本的假设：
1)齐次马尔可夫性假设，即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻t的状态只依赖于上一时刻的状态，与其他时刻的状态和观测无关，也与时刻t无关；
2）观测独立性假设，即假设任意时刻的观测只依赖于当前时刻的马尔可夫链的状态，与其他观测与状态无关。
隐马尔可夫的三个基本问题：
1）概率计算问题，给定模型 λ=(A,B,π) λ = ( A , B , π ) 和观测序列 O=(o1,o2,..,ot) O = ( o 1 , o 2 , . . , o t ) ，计算在该模型下观测序列出现的概率；
2）学习问题，给出观测序列 O=(o1,o2,..,ot) O = ( o 1 , o 2 , . . , o t ) ，估计模型参数，使得在该模型下观测序列出现的概率最大，即用极大似然估计的方法估计参数；
3）预测问题，也称为解码问题。给定模型 λ=(A,B,π) λ = ( A , B , π ) 和观测序列 O=(o1,o2,..,ot) O = ( o 1 , o 2 , . . , o t ) ，求对给定的观测序列条件概率P(I|O)最大的状态序列I。

• 考虑这样一个题目：
  
  概率计算就是计算在已知模型 λ λ 参数的条件下，计算出现这种观测序列“红红白白红”的概率；
  学习算法就是预测模型参数的算法，当状态序列和观测序列已知时为监督学习，当仅观测序列已知时为非监督学习，用EM算法。
  预测算法就是已知模型参数和观测序列“红红白白红”的条件下，预测最有可能的每次选择哪个盒子的概率。

概率计算算法

对应实例中的问题是：在已知模型 λ λ 参数的条件下，计算出现这种观测序列的概率。
它有三种计算方法：
1.暴力计算，计算出在各种状态序列情况下出现观测序列的概率，然后对概率求和。复杂度极高！
换句话说：即列举出所有可能的每一次选取哪个盒子的情况，然后对这些可能求解。例如每次选取的盒子是(1,1,1),(1,1,2)(1,1,3)(1,2,1)…
2.前向算法递归求解，依次求出时间t情况下状态为i且前边的观测序列为题目所给的概率，对最后一次的计算结果求和。
换句话说：分别计算第一个时刻选择第i和盒子且预测状态为“红”，然后递归计算第二个时刻选择第i个盒子且预测状态为“红”，递归计算第三个时刻选择第i个盒子且预测状态为“白”，…，一直计算到最后一个时刻，然后把最后一个时刻选择不同盒子的概率相加。
3.后向算法递归求解，依次求出时间t情况下状态为i且后边的观测序列为题目所给的概率，对最开始的状态结果和观测结果的乘积求和。
换句话说：分别计算最后一个时刻选择第i个盒子的概率（均为1），递归计算倒数第2个时刻状态为i的条件下倒数第一个观测序列为“红”的概率，…,一直计算到第一个时刻状态为i的情况下后面的观测序列为”红白白红“的概率，最后对第一个状态的可能结果与观测结果的乘积求和。
前向-后向算法是通过递归地计算前向-后向概率可以高效地进行隐马尔可夫模型的概率计算。

学习算法

分为两种，一种是给定了观测序列与状态序列，直接根据极大似然估计法来估计模型参数，另外一种是只给定观测序列，此时需要使用EM法，隐变量是状态序列。
后一种方法利用EM算法在隐马尔可夫模型中具体实现就是Baum-Welch算法，它是一种非监督学习算法。

预测算法

近似算法

在每个时刻t选择在该时刻最有可能出现的状态，从而得到状态序列。
优点是计算简单，缺点是不能保证预测的序列整体上是最有可能的状态序列，因为预测的状态序列可能有实际不发生的部分。

维特比算法

维特比算法应用动态规划高效地求解最优路径，即概率最大的状态序列。
具体地，从时刻t=1开始，递推地计算在时刻t状态为i的各条路径的最大概率，直至得到时刻t=T状态为i的各条路径的最大概率。时刻t=T的最大概率即为最优路径的概率 P∗ P ∗ ,最优路径的终结点也同时得到。之后，为了找出最优路径的各个节点，从终结点开始，从后向前逐步求得结点得到最优路径。