R语言 时间序列之ARIMA模型

自回归移动平均模型（arima）

ARMA模型是对不含季节变动的平稳序列进行建模。ARIMA模型的本质和ARMA是一样的，只是ARIMA针对不平稳的序列进行建模的，将ARMA模型里的序列值进行差分就可以。

定阶以及参数说明

acf值	pcf值	模型
拖尾（逐渐为0）	p阶截尾	ARIMA(p,d,0)
q阶截尾	拖尾	ARIMA(0,d,q)
拖尾	拖尾	ARIMA(p,d,q)

以尼罗河数据为例子

  plot(Nile)
  abline(reg = lm(Nile ~ time(Nile)))

由时序图可以知道，尼罗河数据有明显递减趋势，故该序列不平稳。接着对尼罗河数据进行差分，forecast包中的ndiffs()可以帮助判断差分几次

  ndiffs(Nile)
  Nile_diff <- diff(Nile, lag = 1)
  > ndiffs(Nile) # 差分次数
   [1] 1
  # 纯随机性检验 
  Box.test(Nile_diff, type = "Ljung-Box")
  > Box.test(Nile_diff, type = "Ljung-Box") # 显然该序列是白噪声序列，应该停止分析，但由于本人不想再找非白噪声序列，还是用该序列来分析，在残差分析中出现问题了


	Box-Ljung test


  data:  Nile_diff
  X-squared = 16.492, df = 1, p-value = 4.885e-05



  par(mfrow = c(2, 2))
  plot(Nile, main = '差分前')
  plot(Nile_diff, main = '差分后')
  abline(reg = lm(Nile_diff ~ time(Nile_diff)))
  acf(Nile_diff, main = '差分后acf')
  pacf(Nile_diff, main = '差分后pacf')

差分后的时序图在均值为0附近波动，不随时间的改变而改变，自相关图显示自相关系数在滞后1阶后就快速的减为0，一阶差分后该序列平稳，那么该序列可以定阶为ARIMA(0, 1, 1)

1. 定阶

  Nile.arima <-  arima(Nile_diff, order = c(0,1,1),method = "ML")
  Nile.pre <- forecast(Nile.arima, h = 10) # 预测
  plot(Nile.pre)

2. 模型估计

模型参数检验包括两个检验：参数的显著性检验和残差的正态性和无关性检验（调查预测误差是否是平均值为零且方差为常数的正态分布（服从零均值、方差不变的正态分布））。 

1）参数估计

用估计出的系数除以其的标准差(se)得到的商与T统计量5%的临界值（1.96）比较，商的绝对值大于1.96，则拒绝原假设，认为系数显著的不为0，否则认为系数不显著。系数不显著的可以去掉，语法为arima(data,order,fixed=c(NA,0,NA…))，fixed为0的位置即为被去掉的参数的位置。

Nile.arima <-  arima(Nile_diff, order = c(0,1,1),method = "ML")
> Nile.arima

Call:
arima(x = Nile_diff, order = c(0, 1, 1), method = "ML")

Coefficients:
          ma1
      -1.0000
s.e.   0.0254

sigma^2 estimated as 28268:  log likelihood = -643.58,  aic = 1291.16
> -1.0000/0.0254
[1] -39.37008

系数除以标准差值为-39.37008绝对值远远大于1.96，则才序列的参数显著

2）残差正态性

  # 方法一qq图
  qqnorm(Nile.arima$residuals)
  qqline(Nile.arima$residuals)
 
  # 正态性检验法
  shapiro.test(Nile.arima$residuals)
> shapiro.test(Nile.arima$residuals)

	Shapiro-Wilk normality test

data:  Nile.arima$residuals
W = 0.9902, p-value = 0.6876

不管是从qq还是w检验法都可以看出，残差满足正态性

3）无关性检验

也称为残差的白噪声检验，由前面白噪声的定义可知，残差（=估计值-真实值）应为不相关的序列。常用LB统计量来检验残差。

> Box.test(Nile.arima$residuals, type = "Ljung-Box")

	Box-Ljung test

data:  Nile.arima$residuals
X-squared = 16.171, df = 1, p-value = 5.786e-05

LB检验可以知道，残差不满足无关性

# Ps: p值大，说明为纯随机序列。p值小，非纯随机序列，

  par(mfrow = c(1, 2))
  plot.ts(Nile.arima$residuals)
  abline(reg = lm(Nile.arima$residuals ~ time(Nile.arima$residuals)))
  acf(Nile.arima$residuals)

预测残差是均值为0，异方差

综合以上，该模型应该优化