数据结构与算法C语言版—绪论

1.基本概念和术语

• 1、数据（data）：所有能输入到计算机中去的描述客观事物的符号
  • 数值性数据
  • 非数值性数据（多媒体信息处理）
• 2、数据元素（data element）：数据的基本单位，也称结点（node）或记录（record）
• 3、数据项（data item）：有独立含义的数据最小单位，也称域(field)
  • 三者之间的关系：数据 > 数据元素  > 数据项  例：学生表 >  个人记录 >  学号、姓名
• 4、数据对象(Data Object)：相同特性数据元素的集合，是数据的一个子集。
  • 整数数据对象：N = { 0, 1, 2, … }
  • 学生数据对象：学生记录的集合
• 5、数据结构（Data Structure）是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
  • 数据结构是带“结构”的数据元素的集合，“结构”就是指数据元素之间存在的关系。

2.数据结构

• 数据结构的两个层次 :
  • 逻辑结构：数据元素间抽象化的相互关系，与数据的存储无关，独立于计算机，它是从具体问题抽象出来的数学模型。
  • 存储结构（物理结构）：数据元素及其关系在计算机存储器中的存储方式。

2.1 逻辑结构

• 划分方法一 ：
  • 线性结构：有且仅有一个开始和一个终端结点，并且所有结点都最多只有一个直接前趋和一个后继。 例如：线性表、栈、队列、串
  • 非线性结构：一个结点可能有多个直接前趋和直接后继。 例如：树、图
• 划分方法二：
  • 集合：数据元素间除“同属于一个集合”外，无其它关系。

    

  • 线性结构：一个对一个，如线性表、栈、队列。
  • 树形结构：一个对多个，如树：
  • 图形结构——多个对多个，如图：

2.2 存储结构

• 顺序存储结构：借助元素在存储器中的相对位置来表示数据元素间的逻辑关系 。

• 链式存储结构：借助指示元素存储地址的指针表示数据元素间的逻辑关系。

3.数据的运算

• 逻辑结构和存储结构都相同，但运算不同，则数据结构不同.。例如, 栈与队列。 
• 对于一种数据结构, 常见的运算
  • 插入
  • 删除
  • 修改
  • 查找
  • 排序

4.算法和算法分析

• 算法定义：一个有穷的指令集，这些指令为解决某一特定任务规定了一个运算序列。
• 算法的描述：自然语言 、流程图 、程序设计语言 、伪码。
• 算法的特性：  
  • 输入 ：有0个或多个输入  
  • 输出 ：有一个或多个输出(处理结果)  
  • 确定性 ：每步定义都是确切、无歧义的  
  • 有穷性 ：算法应在执行有穷步后结束
  • 有效性 ：每一条运算应足够基本
• 算法的评价：
  • 正确性
  • 可读性
  • 健壮性
  • 高效性（时间代价和空间代价）

5.算法的效率的度量

• 算法效率：用依据该算法编制的程序在计算机上执行所消耗的时间来度量。   
  • 事后统计
  • 事前分析估计 
• 事后统计：利用计算机内的计时功能，不同算法的程序可以用一组或多组相同的统计数据区分
  • 缺点：（1）必须先运行依据算法编制的程序 ；（2）所得时间统计量依赖于硬件、软件等环境因素，掩盖算法本身的优劣    
• 事前分析估计： 一个高级语言程序在计算机上运行所消耗的时间取决于：    
  • 依据的算法选用何种策略      
  • 问题的规模      
  • 程序语言      
  • 编译程序产生机器代码质量      
  • 机器执行指令速度    
• 同一个算法用不同的语言、不同的编译程序、在不同的计算机上运行，效率均不同，使用绝对时间单位衡量算法效率不合适。

6.时间复杂度的渐进表示法

• 算法中基本语句重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，算法的时间量度记作：T(n)=O(f(n)) ，表示随着n的增大，算法执行的时间的增长率和f(n)的增长率相同，称渐近时间复杂度。
• 数学符号“O”的定义为： 若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n) = O(f(n))表示存在正的常数C和n0，使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤Cf(n)。

• n越大算法的执行时间越长
  • 排序：n为记录数
  • 矩阵：n为矩阵的阶数
  • 多项式：n为多项式的项数
  • 集合：n为元素个数 树：n为树的结点个数
  • 图：n为图的顶点数或边数
• n * n阶矩阵加法：

• for( i = 0; i < n; i++)     
      for( j = 0; j < n; j++)        
           c[i][j] = a[i][j] + b[i][j];      

    语句的频度（Frequency Count )：重复执行的次数：n*n; T( n ) = O ( n 2) 即：矩阵加法的运算量和问题的规模n的平方是同一个量级。

7.分析算法时间复杂度的基本方法

• 找出语句频度最大的那条语句作为基本语句
• 计算基本语句的频度得到问题规模n的某个函数f(n)
• 取其数量级用符号“O”表示
• 
• T(n) = O(m*n)，时间复杂度是由嵌套最深层语句的频度决定的

例1：N×N矩阵相乘

for(i=1;i<=n;i++)
  for(j=1;j<=n;j++)
     {c[i][j]=0;	
       for(k=1;k<=n;k++)
          c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];
     }	

• 算法中的基本操作语句为：c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];
• 、

例2

for( i=1; i<=n; i++)          
    for (j=1; j<=i; j++)              
        for (k=1; k<=j; k++) 
            x=x+1;

• 

例3：分析以下程序段的时间复杂度

i=1;                             
while(i<=n)
	 i=i*2;      

• 设基本语句频度为f(n)，则2^f(n)≤n，即f(n)≤log2n，取最大值f(n)=log2n

总结

• 当n取得很大时，指数时间算法和多项式时间算法在所需时间上非常悬殊

• ​​​​​​​时间复杂度T(n)按数量级递增顺序为：

8.渐进空间复杂度

• 空间复杂度:算法所需存储空间的度量，记作: S(n)=O(f(n))，其中n为问题的规模(或大小)
• 算法要占据的空间： 
  • 算法本身要占据的空间，输入/输出，指令，常数，变量等
  • 算法要使用的辅助空间

例5：将一维数组a中的n个数逆序存放到原数组中。

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