HDU - 5015 矩阵快速幂（构造矩阵）

【题目链接】

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已知$a[0][1]=233,a[0][2]=2333,a[0][2]=23333\cdots (a[0][i]=a[0][i-1]\ast 10+3)$。
又$a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]$，现给你n个数，$a[0][1]\sim a[0][n]$，最后求$a[n][m]\%10000007$

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【数据范围】
$n\le 10,m\le 1000000000,0\le a_{i,0}\le 1000000000$。

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【分析】
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& \cdots & a_{0,m}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& \cdots & a_{1,m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,0}& a_{n,1}& \cdots & a_{n,m}\end{array}\right]$$
对于上述$n\times m$矩阵，我们已知第一行第一列，由于$a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i,j-1}$，即可递推到$a_{n,m}=a_{1,m-1}+a_{2,m-1}+\cdots a_{n,m-1}+a_{0,m}$。
又$n\le 10$,即可构造$12\times 12$的矩阵（当n不为10时，由于计算结果时只计算前n行，所以并不影响结果）：
$$\left[\begin{array}{cccccc}10& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 10& 1& 0& 0& \cdots & 1\\ 10& 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 10& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$$
矩阵乘法如下：
$$\left[\begin{array}{c}{a}_{0,m}\\ a_{1,m}\\ a_{2,m}\\ ⋮\\ a_{n,m}\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}10& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 10& 1& 0& 0& \cdots & 1\\ 10& 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 10& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{a}_{0,m-1}\\ a_{1,m-1}\\ a_{2,m-1}\\ ⋮\\ a_{n,m-1}\\ 3\end{array}\right]$$
即为：
$$\left[\begin{array}{c}{a}_{0,m}\\ a_{1,m}\\ a_{2,m}\\ ⋮\\ a_{n,m}\\ 3\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccccc}10& 0& 0& 0& \cdots & 0\\ 10& 1& 0& 0& \cdots & 1\\ 10& 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 10& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]}^m\times \left[\begin{array}{c}{a}_{0,0}\\ a_{1,0}\\ a_{2,0}\\ ⋮\\ a_{n,0}\\ 3\end{array}\right]$$
这里只需要做一遍矩阵快速幂求出构造矩阵的m次方，最后对第一列做一遍矩阵乘法即可求得答案。

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【代码】

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector<LL> vec;
typedef vector<vec> mat;
const LL MOD = 10000007LL;
void print(mat &A) {
	for(int i = 0; i < A.size(); i++) {
		for(int j = 0; j < A[i].size(); j++) printf("%d ", A[i][j]);
		printf("\n");
	}
}
void Init(mat &A) {//构造矩阵
	for(int i = 0; i <= 10; i++) {
		A[i][0] = 10;
		for(int j = 1; j <= 10; j++) {
			if(j <= i)A[i][j] = 1;
			else A[i][j] = 0;
		}
		A[i][11] = 1;
	}
	for(int j = 0; j <= 11; j++) {
		if(j != 11)A[11][j] = 0;
		else A[11][11] = 1;
	}
}
mat mul(mat &A, mat &B) {//矩阵乘法
	mat C(A.size(), vec(B[0].size()));
	for(int i = 0; i < A.size(); i++)
		for(int k = 0; k < B.size(); k++)
			for(int j = 0; j < B[0].size(); j++)
				C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j] % MOD + MOD) % MOD;
	return C;
}
mat pow(mat A, LL n) {//矩阵快速幂
	mat B(A.size(), vec(A.size()));
	for(int i = 0; i < B.size(); i++)B[i][i] = 1;
	while(n > 0) {
		if(n & 1)B = mul(B, A);
		n >>= 1;
		A = mul(A, A);
	}
	return B;
}
void solve(mat &A, int n, int m, mat &num) {
	A = pow(A, m);//求得A的m次方存在A中
	num = mul(A, num);//做矩阵乘法
	printf("%lld\n", num[n][0]);//最后答案即为num[n][0]
}
int main() {
	int n, m;
	mat A(12, vec(12));//构造矩阵数组
	mat num(12, vec(1));//第一列可看成12*1的矩阵
	while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
		Init(A);
		for(int i = 0; i <= 11; i++)num[i][0] = 0LL;
		for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &num[i][0]);
		num[11][0] = 3LL;
		num[0][0] = 23LL;
		solve(A, n, m, num);
	}
	return 0;
}