MATLAB实现多元非线性回归

简单多元非线性回归算例

现有以下数据

i	x1	x2	x3	y
1	1.1	2	3.2	10.1
2	1	2	3.2	10.2
3	1.2	1.8	3	10
4	1.1	1.9	2.9	10.1
5	0.9	2.1	2.9	10

假如有以下模型：

$$y=a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3^2$$

可以基于最小二乘法原理建立如下法方程组，其解则是上述系数.
$$\sum _{j=0}^n({\phi }_j,{\phi }_k)a_j=(f,{\phi }_k),k=0,1,\dots n$$
其中$$n=2,{\phi }_0=x1，{\phi }_1=x2，{\phi }_2=x3,f=y$$.
MATLAB代码如下

x1=[1.1 1 1.2 1.1 0.9]';
x2=[2 2 1.8 1.9 2.1]';
x3=[3.2 3.2 3 2.9 2.9]';
y=[10.1 10.2 10 10.1 10]';
G=[x1,x2,x3.^2];
z=G\y;

得到$$z=(3.296,3.4404,-0.0141{)}^T$$
所以有所以有
$$y=3.296x_1+3.4404x_2-0.0141x_3^2$$

或者可以调用MATLAB中的nlinfit函数。

[beta,r]=nlinfit(X,y,myfun,beta0);

其中输入参数X是自变量，y是因变量，myfun 是函数模型，beta0是初始迭代系数向量，返回值beta是模型的系数向量，r是每个点的残差。
先定义myfun

function y=myfun(beta,x)
y=beta(1)*x(:,1)+beta(2)*x(:,2)+beta(3)*x(:,3).^2;

然后主程序

x1=[1.1 1 1.2 1.1 0.9]';
x2=[2 2 1.8 1.9 2.1]';
x3=[3.2 3.2 3 2.9 2.9]';
y=[10.1 10.2 10 10.1 10]';
X=[x1,x2,x3];
beta0=[1,1,1];
[beta,r]=nlinfit(X,y,'myfun',beta0);

得到$$beta=(3.296,3.4404,-0.0141{)}^T$$
所以有
$$y=3.296x_1+3.4404x_2-0.0141x_3^2$$
这边只涉及到如何获得回归方程中的系数，至于回归方程的优劣性判断，暂不做讨论。