实验数据的近似曲线拟合

 

        在科研实践中，为了从实验数据中得到规律性的结果，摸索出实验结果的趋向，以减少实验的次数，在最初的实验中，总想从实验数据中获得这样的东西。一种常用的方法，就是对每次实验获得的数据组的数据进行近似曲线拟合，从中发现其变化规律。一旦这样的规律可以确定，那么目的就达到了，就可以减少或不必再进行类似的实验了，因为有些实验要重复做是很困难的。对数据进行近似曲线拟合有多种方法可供选择的。这里介绍一下活图（中文版活图ver8.1现在是常州微识自动化科技有限公司产品之一http://www.microverify.com/col.jsp?id=114）中常用的一种方法。在活图中，有34种近似曲线拟合函数专门用于数据的近似曲线拟合，其中之一的最适合曲线拟合近似函数fit_best( [ix],[iy],[ox],[oy],x初,x终,x增,[残差])，因其具备的特有功能而深受学者的欢迎，在实际中得到了广泛的应用。这种特有的功能是指本函数在运行后，会对函数参数中指定的两个数值组[ix],[iy]（既实验获得的原始数据组）的数据点列，顺次序采用拟合曲线族中的130种拟合曲线，按照最小二乘法进行近似，取其中与给定点列近似误差2乘平均值（2乘均残差）最小的拟合曲线作为最佳曲线，求其在函数的指定区间x初、x终和指定间隔x增的近似结果，然后将结果存放在指定的函数数值组[ox]和[oy]，函数返回的是最佳曲线的编号（在曲线族130种曲线中的编号）和编号对应的近似曲线表达式。函数参数中的[残差]数组内，自动的按照2乘均残差从小到大的顺序，每两个组元对应一根曲线的方式，表达出各拟合曲线的编号和2乘均残差的信息，下面以具体实例说明这一实验数据的最佳曲线拟合过程。

       假定有两组的实验数据如图一所示，

                                                                                           图一

其组编号分别对应1和2，打开活图的数式窗口，如图二所示，

                                                                                   图二

点击函数表，如图三所示，

                                                                                      图三

左上的函数种类中选第22类的近似曲线拟合，下部函数窗口中选第274的本函数，然后点击右上的函数采用按钮，该函数就会以裸方式出现在数式窗口内，如图四所示，

                                                                      图四

此时在函数参数中输入实验数据组编号1和2，结果输出数据组编号随意取为8和9，函数区间（x终,x增）取为1到14，指定间隔（x增）取为0.1，残差的组号随意取为10，函数参数确定好后的画面如图五所示，

                                                                                      图五

此时点击行计算或全部计算按钮，出现图六所示的画面，

                                                                                            图六

注意下部的窗口状态条，有结果文字=y= A/x+B+Cx+Dx^2+Ex^3        的表达式，此时按一下结果图按钮，就会出现和文字表达式相同曲线的实验数据的拟合曲线结果图，如图七所示，

                                                                          图七

此时回到数式窗口，点击一下拟合结果按钮，就会出现如图八所示的曲线组拟合结果，

拟合结果窗口中，按照二乘均残差由小到大的顺序，各对应曲线的系数值和表达式全部表达出来，本例中对应的二乘均残差最小值是0.60560966，对应曲线编号是112,曲线表达式是y = A/x+B+Cx+Dx^2+Ex^3，方程各常数系数是A=-20.46494 B=106.51346 C=-2.376028 D=0.2255962 E=-0.006781，其余的均方差对应的曲线表达式和系数是一目了然的。曲线族中总共有130种曲线类型。实际操作中可在拟合前排除掉不可能的曲线类型后进行拟合的。

按一下数值按钮，拟合过程中的原始实验数据和拟合结果输出数据，以及最小均方差值和曲线编号如图九所示。

                                                                                图九