概率统计23——假设检验理论（2）

假设检验实际上是用反证法做出非对即错的判断：先假定原假设是对的，然后将抽样数据代入相应的分布中去验证，观察原假设的数值是落在接受域还是拒绝域，由此做出是接受还是拒绝原假设的判断。

值得注意的是，不同于以往严格的数学证明，假设检验是建立在小概率事件原理的基础之上。由于小概率事件也有可能发生，因此并不能百分之百确定原假设一定不成立，也就是说，原假设也有判断错误的时候。

两种错误类型

假设检验有两种判断错误的类型，统计学家给出了专业的名称：第一类错误和第二类错误。

第一类错误（false reject）：错误地拒绝，H0是对的，却拒绝了它。也就是说，计算结果落在拒绝域，但真实结果是在接受域。

第二类错误（false accept）：错误地接受，H0是错的，却接受了它。也就是说，计算结果落在接受域，但真实结果是在拒绝域。

第一类错误也叫Ⅰ 型错误或弃真错误，第二类错误也叫Ⅱ 型错误或存伪错误。我觉得还是忘记这些文绉绉名称，记住false reject和false accept即可，毕竟这两个英文短语更直白，更容易理解。

 

假设检验的理想情况是能过做出与实际相符的正确断言，但由于抽样数据的随机性，根据样本计算的统计量必然会与整体的真实数值存在差异，这种差异可能导致出现四种判断结果：

错误的概率

既然假设检验无法保证百分之百有效，那么我们就需要研究两类错误出现的概率，由此将假设检验的功效数值化。

 

先来看第一类错误。

第一类错误是在H0正确的时候错误地却拒绝了它，这就意味着我们的判断结果落在了拒绝域内：

 

 结果落在拒绝域内的概率与显著性水平一致，因此α的数值决定了出现第一类错误概率：

 

随着α的减小，第一类错误出现的概率也随之减小。当α=0时，第一类错误完全消失，也就是永远不会拒绝H0，这有点像过去的“守旧派”对于“法先王”的绝对拥护，无论时代怎么进步，“法先王”都必须服从，任何改革都视为大逆不道。

可以看出，由于α的值很小，所以犯第一类错误的几率也很小。

 

再来看第二类错误。

第二类错误是在H0错误的时候接受了它，一个本应落在拒绝域内的点却落在了接受域内：

 

 我们用β表示第二类错误出现的概率，只要α确定了，β也就确定了。一个草率的判断是β=1-α，按照这种计算方式，β=0.95，这意味着第二类错误出现的概率高达95%！如果这样，那么假设检验还有什么用？

实际上β的计算比α难得多。

 　　

我们延用产品元件的故事。μ0是改善前总体的均值，μ1是改善后总体的均值，改善前后的标准差一致，都是σ=6。

原假设H0：改善前与改善后是同一个正态分布，μ0=μ1=600。

备择假设H1：改善前与改善后是不同的正态分布，μ0 =600< μ1=603。

公司用新技术制造了大量元件，从中多次抽取容量是m（m≥30）的样本进行检验。根据中心极限定理，样本均值的分布服从均值为总体均值，方差为总体方差1/m的正态分布：

对样本均值进行标准化处理：

转存失败重新上传取消

使用0.05显著性水平，在标准正态分布下，查表可知临界值是1.645。

当Z0 > 1.645时，将拒绝H0假设。

再来看均值的逆运算：

也就是说，如果抽样的均值大于601.802，就应该拒绝相信H0。

现在可以计算出标准正态分布下β区域的临界值：

 

结论是，如果改善后的功率均值是603，那么以此为条件，犯第二类错误的概率是β=0.137。通过β的计算过程可以看出，只有当H1假设是一个固定的值时，才能计算出β。如果H1假设不是固定，比如只给出了μ1 > 603，那么将无法根据①计算出z1，也就无法进一步求得β。

 

一个常见的问题是，既然一开始就知道了H0和H1的均值和方差，为什么还要使用标准化处理？直接计算临界值岂不是更简单？

我们的确可以直接通过计算机解求得X~(μ0, σ2)时的临界值，但这是总体分布下的临界值，而我们的假设检验是基于抽样，并非总体，此时用到的理论是中心极限定理，因此才大费周章地使用标准化形态。

 

　出处：微信公众号 "我是8位的"

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