python数据结构与算法——哈希表

python数据结构与算法——哈希表

参考翻译自:《复杂性思考》 及对应的online版本:http://greenteapress.com/complexity/html/thinkcomplexity004.html

使用哈希表可以进行非常快速的查找操作,查找时间为常数,同时不需要元素排列有序

python的内建数据类型:字典,就是用哈希表实现的

为了解释哈希表的工作原理,我们来尝试在不使用字典的情况下实现哈希表结构。

我们需要定义一个包含 键->值 映射 的数据结构,同时实现以下两种操作:

add(k, v):

  Add a new item that maps from key k to value v.

  With a Python dictionary,d, this operation is written d[k] = v.

get(target):

  Look up and return the value that corresponds to key target.

  With a Python dictionary, d, this operation is written d[target] or d.get(target).

一种简单是实现方法是建立一个线性表,使用元组来实现 key-value 的映射关系

class LinearMap(object):
    """ 线性表结构 """
    def __init__(self):
        self.items = []

    def add(self, k, v):    # 往表中添加元素
        self.items.append((k,v))

    def get(self, k):       # 线性方式查找元素
        for key, val in self.items:
            if key==k:      # 键存在,返回值,否则抛出异常
                return val
        raise KeyError

我们可以在使用add添加元素时让items列表保持有序,而在使用get时采取二分查找方式,时间复杂度为O(log n)。 然而往列表中插入一个新元素实际上是一个线性操作,所以这种方法并非最好的方法。同时,我们仍然没有达到常数查找时间的要求。

我们可以做以下改进,将总查询表分割为若干段较小的列表,比如100个子段。通过hash函数求出某个键的哈希值,再通过计算,得到往哪个子段中添加或查找。相对于从头开始搜索列表,时间会极大的缩短。尽管get操作的增长依然是线性,但BetterMap类使得我们离哈希表更近一步:

 class BetterMap(object):
    """ 利用LinearMap对象作为子表,建立更快的查询表 """
    def __init__(self,n=100):
        self.maps = []          # 总表格
        for i in range(n):      # 根据n的大小建立n个空的子表
            self.maps.append(LinearMap())

    def find_map(self,k):       # 通过hash函数计算索引值
        index = hash(k) % len(self.maps)
        return self.maps[index] # 返回索引子表的引用     

    # 寻找合适的子表(linearMap对象),进行添加和查找
    def add(self, k, v):
        m = self.find_map(k)        
        m.add(k,v)

    def get(self, k):
        m = self.find_map(k)
        return m.get(k)

测试一下:

if __name__=="__main__":
    table = BetterMap()
    pricedata = [("Hohner257",257),
                 ("SW1664",280),
                 ("SCX64",1090),
                 ("SCX48",830),
                 ("Super64",2238),
                 ("CX12",1130),
                 ("Hohner270",620),
                 ("F64C",9720),
                 ("S48",1988)]

    for item, price in pricedata:
        table.add(k=item, v=price)

    print table.get("CX12")
    # >>> 1130
    print table.get("QIMEI1248")
    # >>> raise KeyError

由于每个键的hash值必然不同,所以对hash值取余的值基本也是不同的。

当n=100时, BetterMap的查找速度大约是LinearMap的100倍。

明显,BetterMap的查找速度受到参数n的限制,同时其中每个LinearMap的长度不固定,使得子段中的元素依然是线性查找。如果,我们能够限制每个子段的最大长度,这样在单个子段中查找的时间负责度就有一个固定上限,则LinearMap.get方法的时间复杂度就成为了一个常数。由此,我们仅仅需要跟踪元素的数量,每当某个LinearMap中的元素数量超过阈值时, 对整个hashtable进行重排,同时增加更多的LinearMap,这样子就可以保证查找操作为一个常数啦。

以下是hashtable的实现:


class HashMap(object):
    def __init__(self):
        # 初始化总表为,容量为2的表格(含两个子表)
        self.maps = BetterMap(2)
        self.num = 0        # 表中数据个数

    def get(self,k):        
        return self.maps.get(k)

    def add(self, k, v):
        # 若当前元素数量达到临界值(子表总数)时,进行重排操作
        # 对总表进行扩张,增加子表的个数为当前元素个数的两倍!
        if self.num == len(self.maps.maps): 
            self.resize()

        # 往重排过后的 self.map 添加新的元素
        self.maps.add(k, v)
        self.num += 1

    def resize(self):
        """ 重排操作,添加新表, 注意重排需要线性的时间 """
        # 先建立一个新的表,子表数 = 2 * 元素个数
        new_maps = BetterMap(self.num * 2)

        for m in self.maps.maps:  # 检索每个旧的子表
            for k,v in m.items:   # 将子表的元素复制到新子表
                new_maps.add(k, v)

        self.maps = new_maps      # 令当前的表为新表

重点关注 add 部分,该函数检查元素个数与BetterMap的大小,如果相等,则“平均每个LinearMap中的元素个数为1”,然后调用resize方法。

resize创建一个新表,大小为原来的两倍,然后对旧表中的元素“rehashes 再哈希”一 遍,放到新表中。

resize过程是线性的,听起来好像很不怎么好,因为我们要求的hashtable具有常数时间。但是,要知道我们并不需要经常进行重排操作,所以add操作在绝大部分时间中都是常数的,偶然出现线性。由于对n个元素进行add操作的总时间与n成比例,所以每次add的平均时间就是一个常数!

假设我们要添加32个元素,过程如下:

  1. 由于初始长度为2,前两次add不需要重排,第1,2次 总时间为 2

  2. 第3次add,重排为4,耗时2,第3次时间为 3

  3. 第4次add,耗时1    到目前为止,总时间为 6

  4. 第5次add,重排为 8,耗时4,第5次时间为5

  5. 第6~8次 共耗时3   到目前为止,总时间为 6+5+3 = 14

  6. 第9次add,重排16, 耗时8,第9次时间为9

  7. 第10~16次,共耗时7, 到目前为止,总时间为 14+9+7 = 30

在32次add后,总时间为62的单位时间,由以上过程可以发现一个规律,在n个元素add之后,当n为2的幂,则当前总单位时间为 2n-2,所以平均add时间绝对小于2单位时间。

当n为2的幂时,为最合适的数量,当n变大之后,平均时间为稍微上升,但重要的是,我们达到了O(1)。


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