TomoyaZhang
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09. 正交概念

向量正交

正交意味着垂直，设向量x与向量y正交
根据勾股定理，有如下推导

||x||2+||y||2xTx+yTyxTx+yTyxTy=||x+y||2=(x+y)T(x+y)=xTx+yTy+2xTy=0

如果向量x与向量y满足 xTy=0 ，则x与y正交

向量空间正交

向量空间S和向量空间T正交，则意味着S中的任何一个向量与T中的任何一个向量都正交

几个结论：

  • 如果两个向量空间正交，则这两个向量空间的交集仅有一个元素，零向量
    如果交集有非0向量x，那么x应与自身正交，即 xTx = 0，得到x = 0，这与x是非0向量矛盾
  • 行空间与零空间正交，同理列空间与左零空间正交
    行空间中的任一元素x，与零空间的任意元素y，根据零空间的定义都有 xTy=0 ，同理对转置矩阵套用结论，可得到原矩阵的列空间与左零空间正交

正交补

若向量空间S与向量空间T正交，且向量空间T包含了所有与S正交的向量，那么T称为S的正交补

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