基于非线性全变分的去噪算法

摘要： 本文提出一种用于图像去噪的数值最优化约束的算法。通过约束噪声的统计，图像的全变分被最优化。约束使用拉格朗日乘数。该方案通过使用梯度投影法得到。这相当于在一个被约束决定的流形上求解一个与时间有关的偏微分方程。当$t\to \infty$，该方案转换成一个稳定的状态，即一个无噪声的图像。该数值算法简单且相应地快。该结果对于高噪声的图像时高水平的。该方法是无损的，会为图像产生锐利的边缘。该技术可以理解为首先将图像向平滑变化，然后将图像投影到约束集。

---

一、介绍
  噪声这种随机的失真让图像的处理变得困难。评估噪声中的真实信号的最广泛使用的方法基于最小二乘法。其原理为统计中最小二乘估计是所有可能的图像中最佳的。该方法依赖L2范数，然而已经证实图像的合适范数是全变分【TV】范数，而不是L2范数。TV范数本质上是L1范数的延申，因此L1估计方法更加接近于图像估计（复原）的条件。边缘全变分函数空间在离散精准估计的方法中有着重要的作用。
  本方法通过最小化估计结果的TV范数为图像去噪。一个约束由噪声统计决定、依赖时间的非线性偏导数可以得到一个约束的最优化算法。
  以往的方法在图像处理过程之前抑制或去除噪声，这也是本文的方法。然而，TV或L1的思想用来与其他噪声敏感的图像处理任务的去噪结合设计算法。

---

二、基于非线性偏微分方程的去噪算法
  考虑观察得到的强度函数$u_0(x,y)$定义了噪声图像$x,y\in \Omega$的每个像素值。使用$u(x,y)$定义期望图像，则$$u_0(x,y)=u(x,y)+n(x,y)$$其中$n(x,y)$是加性噪声。
  大多传统的变分方法包含L2项以解决线性方程。在二维连续空间中，这种受约束的最优化问题为$$min{\int }_{\Omega }(u_x+u_y{)}^2$$其中$u_x=\partial u/\partial x$以保证图像的平滑性，$u_y$同理。约束包括平均$${\int }_{\Omega }u={\int }_{\Omega }{u}_0$$与标准差$${\int }_{\Omega }(u-u_0{)}^2={\sigma }^2$$线性系统使用现代线性代数易解。然而，结果不能令人满意，但优于MEM。
  L1范数一般不被使用，因为变分的表达式如${\int }_{\Omega }|u|dx$产生了单一的分布作为系数，这不能单纯的使用代数解决。但是梯度的L1范数更为合适，这就是基本的边缘全变分函数空间：BV。方便起见，我们去除了空间中虚假的震荡，保留了尖锐的信号。
  本文的受约束的最优化问题为$$min{\int }_{\Omega }(u_x^2+u_y^2{)}^{1/2}dxdy$$约束包含$u_0$，形式同上$${\int }_{\Omega }udxdy={\int }_{\Omega }{u}_{0}dxdy$$该约束表明了高斯噪声$n(x,y)$的均值为0，以及$${\int }_0(u-u_0{)}^2/2dxdy={\sigma }^2$$其使用一个先验信息，即高斯噪声$n(x,y)$的标准差是$\sigma$。
  因此，存在一个线性约束与一个非线性约束。该方法同时考虑了约束的数量与形式。考虑欧拉-拉格朗日方程$$\begin{gathered} 0=\partial /\partial x(u_x/(u_x^2+u_y^2{)}^{1/2})+\partial /\partial y(u_y/(u_x^2+u_y^2{)}^{1/2})-{\lambda }_1-{\lambda }_2(u-u_0),x,y\in \Omega \\ \partial u/\partial n=0,u\in \partial \Omega \end{gathered}$$  该方法使用t为参数的抛物方程，或等效的梯度下降法，即解决$$\begin{gathered} u_t=\partial /\partial x(u_x/(u_x^2+u_y^2{)}^{1/2})+\partial /\partial y(u_y/(u_x^2+u_y^2{)}^{1/2})-{\lambda }_{(}u-u_0),t>0,x,y\in \Omega \\ \partial u/\partial n=0,u\in \partial \Omega \text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$注意到第一约束被去除了，因为当$u(x,y,0)=u_0(x,y)$，其会被该方程自动执行。随着t的增加，图像将接近于无噪声。
  考虑计算$\lambda (t)$，通过不断的乘$(u-u_0)$并在$\Omega$上积分，其会达到一个稳定值$$\lambda =-1/(2{\sigma }^2)\int [(u_x^2+u_y^2{)}^{1/2}-(u_{0x}{u}_x+u_{0y}{u}_y)/(u_x^2+u_y^2{)}^{1/2}]dxdy$$这给出了$\lambda (t)$的动态值，并当$t\to \infty$时收敛。
  该方法引入二维空间如下，定义$$\begin{gathered} x_i=ih,y_j=jh,i,j=0,1,...,N,Nh=1 \\ {t}_n=n\Delta t,n=0,1,... \\ {u}_{ij}^n=u(x_i,y_j,t_n) \\ {u}_{ij}^0=u_0(ih,jh)+\sigma \phi (ih,jh) \end{gathered}$$选择初始数据，使初始约束同时满足$\phi$的均值为0，而l2范数为1，则根据（1）式$$\begin{array}{rl}{u}_{ij}^{n+1}=& u_{ij}^n+\Delta t/h[{\Delta }_{-}^x({\Delta }_{+}^x{u}_{ij}^n/(({\Delta }_{+}^x{u}_{ij}^n+(m({\Delta }_{+}^y{u}_{ij}^n,{\Delta }_{-}^y{u}_{ij}^n){)}^2{)}^{1/2})\\ & +{\Delta }_{-}^y({\Delta }_{+}^y{u}_{ij}^n/(({\Delta }_{+}^y{u}_{ij}^n+(m({\Delta }_{+}^x{u}_{ij}^n,{\Delta }_{-}^x{u}_{ij}^n){)}^2{)}^{1/2})]-\Delta t{\lambda }^n(u_{ij}^n-u_0(ih,jh)),i,j=1,...,N\end{array}$$及边缘条件$$u_{0j}^n=u_{1j}^n,u_{Nj}^n=u_{N-1,j}^n,u_{i0}^n=u_{i1}^n,u_{iN}^n=u_{i,N-1}^n$$其中$$\begin{array}{rl}{\Delta }_{\mp }^x=& \mp (u_{i\mp 1,j}-u_{ij}),samefor{\Delta }_{\mp }^y\\ m(a,b)=& (sgn(a)+sgn(b))min(|a|,|b|)/2,sgn(x)=x/|x|,ifx!=0\\ {\lambda }^n=& -h/2{\sigma }^2[\sum _{i,j}((({\Delta }_{+}^x{u}_{ij}^n{)}^2+({\Delta }_{+}^y{u}_{ij}^n{)}^2{)}^{1/2}\\ & -({\Delta }_{+}^x{u}_{ij}^0)({\Delta }_{+}^x{u}_{ij}^n)/(({\Delta }_{+}^x{u}_{ij}^n{)}^2+({\Delta }_{+}^y{u}_{ij}^n{)}^2{)}^{1/2}-({\Delta }_{+}^y{u}_{ij}^0)({\Delta }_{+}^y{u}_{ij}^n)/(({\Delta }_{+}^x{u}_{ij}^n{)}^2+({\Delta }_{+}^y{u}_{ij}^n{)}^2{)}^{1/2})]\end{array}$$为了稳定，步长被限制为$\Delta t/h^2\le c$

---

三、结果

  图1：（a）分辨率图；（b）含有噪声的分辨率图，SNR=1.0；（c）维纳滤波复原；（d）TV复原