点分树——动态点分治

前置芝士：树上点分治

进入正题

啥是点分树？

顾名思义，它和点分治密切相关，实际上，点分树就是将点分治时的重心相连，所构成的一棵树。

举个栗子，比如说有这么一棵树：

那么它的点分树就是这样的：

因为有时候某些树的重心不唯一，所以点分树的形态也各异，但这都不影响对他的使用。

点分树の用处

引子

看下面这道题：

给一棵n个点的树，所有边的权都为1，问图中距离为k的点对数量

简单~，点分治模板题嘛。

不过……要是带上了修改呢？

正题

题目进阶：

给一棵n个点的树，以及一个固定的k，所有边的权都为1，每个点有黑白两色，一开始全是白点，接下来有m个操作。第一种操作，询问图中距离为k的白点对数量；第二种操作，将点x的颜色修改（黑变白，白变黑）。

（接下来是给读者的思考时间~）
……
……
……
……

emm……貌似点分治做不了呀。

这个时候就要用到神奇的点分树了！

考虑一个重心，$x$在它的子树内，$x$的深度为$deep[x]$（在该子树内），那么$x$对于该重心能产生的贡献就是深度为$k-deep[x]$的点的数量（当然要减掉x所在的那棵子树内的点）。显然，预处理一下，是可以$O(1)$求出贡献的。于是，当每次修改某个点的颜色时，只需要从这个点开始，沿着点分树一路往上跑，沿途更新答案即可。

因为树上点分治的分治层数保证不超过$log(n)$层，所以点分树的深度也不会超过$log(n)$，所以，每一次的修改就是$log(n)$的。

题表

以后可能还会更新？

震波   题解
[ZJOI2007]捉迷藏   题解