二阶线性偏微分方程

弦振动方程、热传导方程与拉普拉斯方程。

这三类方程的形状很特殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。

一般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往往可以从对这三类方程的研究中得到。

一维弦振动方程是双曲型的，一维热传导方程是抛物型的，二维拉普拉斯方程是椭圆型的。

以上三种方程描述的自然现象的本质不同，其解的性质也各异。

这也从侧面说明了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。

 三类典型方程在数学性质上的差异往往是相应的物理现象的本质差异在数学上的表现。

下面我们以三类典型方程(波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程)为例来叙述其差别。

对于一般的变系数方程，情况更复杂一些，但类似结论仍然成立。

解的光滑性

    对于不同类型的方程来说，解的光滑性可以很不相同。对于弦振动方程来说，如果初始条件中高阶的导数不存在，那么解的高阶导数也就不存在；对于热传导方程，只要初始条件是有界的，那么其解是无穷可微的；对于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定义域内都是解析函数。

解的极值性质

    热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理，但它们所采取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于边界。至于热传导方程，区域内部的最大值不能超过区域初始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原理，这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。

影响区和依赖区

    从影响区和依赖区来看，三类方程也有很大区别。波动方程的扰动是以有限速度传播的，因而其影响区和依赖区是锥体状的。对热传导方程而言，其扰动传播进行的十分迅速，某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面，依赖区是整个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态，因此不存在扰动传播的问题。

关于时间的反演

     一物理状态的变化是否可逆，在数学上反映为所归结出来的方程关于时间变量是否是对称的，即以－t代替t后方程是否不变化。

      拉普拉斯方程不存在此问题，双曲型方程是可逆的，热传导方程是不可逆的。

定解问题的提法

椭圆型方程：定解问题中只有边界条件而没有初始条件。故一般不提初边值问题和柯西问题。

抛物型方程：可以提初边值问题和柯西问题，其初始条件只需给出一个。

双曲型方程：可以提初边值问题和柯西问题，其初始条件需要给出两个。