Java实现Josephus约瑟夫环问题的算法
前言
- 语言：Java
- 环境：IntelliJ IDEA
- JDK版本：1.8
- 源码：GitHub
问题概述
N个人围成一圈，规定报数为M，第一个人从1开始报数，报数到M的人将被杀掉，再从下个人继续从1报数，如此循环，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。求被杀人的顺序和最后幸存者的编号
基于链表的解法
用链表求解，我们首先要想到的是，这个问题是循环报数，因此我们应该选择循环链表，由于报数只需要朝着同一方向报数，所以不用考虑双向循环链表。
确定了用循环链表，那么这个链表上的每个节点就保存的是参与者信息，例如编号。我们规定参与者个数为size，报数为k的人死亡，那么，我么需要考虑下列问题：
- 如何完成报数：使用一个
num变量计数，当为k时重置num - 如何删除死亡人员：单向链表删除一个节点需要一个辅助指针，并指向要删除节点的前一个节点，我们定义为
pre指针 - 如何确定人员死亡后，从下个成员重新报数：我们定义为
target指针，指向报数人员
流程为：先创建循环链表，该链表的节点保存参与人员编号，节点个数为size，创建过程中让pre指针始终指向刚创建的节点，这样创建完成后pre就指向最后一个节点，让target指向链表创建的第一个结点，保持pre始终指向target的前一个节点。流程开始，num计数，当num为k时，通过pre删除死亡人员节点，target指向死亡人员节点的下一个节点。重复此过程，直到节点删除剩余一个，最后这个节点，pre和target都指向他，即该节点的next也指向自己，游戏结束。
/**
* 基于链表的实现
* @param size 参与人数
* @param k 报号
*/
public static void josephousLinked(int size,int k){
Node first = null; //指向编号为0的人的指针
Node pre = null; //指向即将死亡人员前一名人员的指针
Node target = null; //指向即将死亡人员的指针
int num = 0; //计数器，0~k
if(size>0){ //初始化第一个人员
first = new Node(0);
pre = first;
}
for(int i = 1;i基于数组的解法
使用数组求解，先构建一个大小为参与人数size大小的数组，我们用数组索引表示这些人的编号。这个数组中存放的是每个人的状态，由于数组刚构建时为0，因此我们规定，数组值为0，则这个人存活，若为1，则这个人死亡，报数为k的人死亡，直到数组中只有一个存活的人，且这个人索引对应的数组值为0，则游戏结束。我们需要考虑以下问题：
- 如何完成报数：使用一个
num变量计数，当为k时重置num - 如何删除死亡人员：将这个人员索引对应的数组值置为1，且遍历到数组值为1的人，只增加索引，不增加计数器
num - 如何确定人员死亡后，从下个成员重新报数：死亡人员索引+1，需要考虑到数组越界，因此需要取模
/**
* 基于数组的实现
* @param size 参与人数
* @param k 报号
*/
public static void josephousArray(int size,int k){
int num = 0; //计数器，0~k
int index = 0; //游标
int sur = size; //存活人数
int[] array = new int[size]; //所有人组成的数组
while(true){
if(array[index%size] == 1){ //如果这个人已经死亡，则下一位开始
index++;
continue;
}
num++;//当前人员报数
if(num==k){ //如果报数到k时，这个人员死亡
array[index%size] = 1; //标记死亡
System.out.println("第"+index%size+"号人死亡"); //打印信息
num = 0; //重置计数器
sur--; //存活人员减少
}
if(sur==1&&array[index%size]==0){ //到最后一人时停止报数，游戏结束
break;
}
index++;
}
System.out.println("幸存者为"+index%size+"号");
}
基于递归的解法
在使用递归之前，我们先要找到约瑟夫环中的规律，如果有下面的数组：
0，1，2，3，4
报数为3的人死亡，则第一个死亡的人一定是2号，也就是说，当给定一个人员总数size，和报数k，那么死一个死亡人员一定是(k-1)%size，这里考虑到报的数k-1可能会大于size，所以要取模。当2号死亡后，我们重新排列数组：
3，4，0，1
我们对这个新数组重新排号为
0，1，2，3
我们可以理解为，要求出0，1，2，3这个数组的最后死亡的人（也就是幸存者），通过一定的对应关系，就能推导出3，4，0，1的幸存者，那么要求出0，1，2，3这个数组的最后死亡的人，我们又可以类比为第一次的做法，重新排序，只需要求出0，1，2的最后死亡的人，直到类比到求出数组只有一个人员0的最后一个死亡的人，显而易见，数组只有0，则不管报什么号，最后一个死亡的都是他，也可以说幸存者就是他。我们先求出简单解：
F(1) = 0 (size=5，k=3）
F(2) = 1 (size=5，k=3）
F(2) =( F(1)+k)%size
我们便得到了递推公式：F(size) = (F(size-1)+k)%size，例如：要求出第n个人的第n个死亡人员编号，只需要知道第n-1个人第n-1个死亡人员的编号
/**
* 基于递归的实现
* @param size 参与人数
* @param k 报号
*/
public static void josephousRecursion(int size,int k){
for(int i = 1;i