机器学习：线性模型-多重共线性问题的解决-岭回归

在线性模型之中，除了线性回归之外，最知名的就是岭回归与Lasso了。这两个算法非常神秘，他们的原理和应用都不像其他算法那样高调，学习资料料也很少。这可能是因为这两个算法不是为了提升模型表现，而是为了修复漏洞而设计的（实际上，使用岭回归或者Lasso，模型的效果往往会下降一些，因为删除了一小部分信息），因此在结果为上的机器学习领域颇有些被冷落的意味。本文介绍一下岭回归。
岭回归，又称为吉洪诺夫正则化（Tikhonov regularization）。通常来说，大部分的机器学习教材会使用代数的形式来展现岭回归的原理，这个原理和线性回归非常相似，都是将求解的过程转化为一个带条件的最优化问题，然后用最小二乘法求解。然而，岭回归可以做到的事其实可以用矩阵非常简单地表达出来。
岭回归在多元线性回归的损失函数上加上了正则项，表达为系数的L2范式（即系数的平方项）乘以正则化系数$\alpha$。其他教材中的代数推导，正则化系数会写作$\lambda$，用以和Lasso区别，不过在sklearn中由于是两个不同的算法，因此正则项系数都使用$\alpha$。岭回归的损失函数的完整表达式写作：
$$\underset{\mathbf{\omega }}{\min }||\mathbf{X}\mathbf{\omega }-\mathbf{y}|{|}_2{}^2+\mathbf{\alpha }||\mathbf{\omega }|{|}_2{}^2$$
这个操作看起来简单，其实带来了巨大的变化。在线性回归中，通过在损失函数上对$\omega$求导来求解极值，这里虽然加上了正则项，依然使用最小二乘法来求解。假设特征矩阵结构为(m,n)，系数$\omega$的结构是(1,n)，则可以有：
$$\frac{\partial (\mathbf{R}\mathbf{S}\mathbf{S}+\mathbf{\alpha }||\mathbf{\omega }|{|}_2{}^2)}{\partial \mathbf{\omega }}=\frac{\partial (||\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{\omega }|{|}_2{}^2+\mathbf{\alpha }||\mathbf{\omega }|{|}_2{}^2)}{\partial \mathbf{\omega }}$$
$$=\frac{\partial (\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{\omega }{)}^{\mathbf{T}}(\mathbf{y}-\mathbf{X}\mathbf{\omega })}{\partial \mathbf{\omega }}+\frac{\partial \mathbf{\alpha }||\mathbf{\omega }|{|}_2{}^2}{\partial \mathbf{\omega }}$$
前半部分在本博客的博文《用最小二乘法求解多元线性回归的参数》中推导过，后半部分对$\omega$求导：
$$=0-2{\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{y}+2{\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}\mathbf{\omega }+2\mathbf{\alpha }\mathbf{\omega }$$
将含有$\omega$的项合并，其中，$\alpha$为常数
为实现矩阵相加，让它乘以一个结构为$n\ast n$的单位矩阵$I$：
$$=({\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}+\mathbf{\alpha }\mathbf{I})\mathbf{\omega }-{\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{y}$$
$$({\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}+\mathbf{\alpha }\mathbf{I})\mathbf{\omega }={\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{y}$$
则，只要$(X^{T}X+\alpha I)$存在逆矩阵，就可以求出$\omega$。一个矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是：这个矩阵的行列式不为0。假设原本的特征矩阵中存在共线性，则方阵$X^{T}X$就会不满秩（存在全为零的行）：
此时方阵$X^{T}X$没有逆，最小二乘法无法使用。然而，加上$\alpha I$之后，矩阵就不一样了：

最后得到的这个行列式还是一个梯形行列式，然而已经不存在全0行或全0列，除非：
(1) $\alpha$等于0，或者
(2) 矩阵$X^{T}X$中存在对角线上元素为$-\alpha$，其他元素都为0的行或列
否则矩阵永远都是满秩。在sklearn中，$\alpha$的值可以自由控制，可以让它不为0，以避免第一种情况。而第二种情况，如果发现某个$\alpha$的取值下模型无法求解，只需要换一个$\alpha$的取值就可以。也就是说，矩阵的逆是永远存在的。有了这个保障，$\omega$就可以写作：
$$\mathbf{\omega }=({\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}+\mathbf{\alpha }\mathbf{I}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{y}$$
如此，正则化系数就非常爽快地避免了”精确相关关系“带来的影响，至少最小二乘法在存在的情况下是一定可以使用的。对于存在”高度相关关系“的矩阵，也可以通过调$\alpha$大，让矩阵$X^{T}X+\alpha I$的行列式变大，从而让逆矩阵变小，以此控制参数向量$\omega$的偏移。$\alpha$越大，模型越不容易受共线性影响。
$$({\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}+\mathbf{\alpha }\mathbf{I}{)}^{-1}=\frac{1}{|{\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}+\mathbf{\alpha }\mathbf{I}|}({\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}\mathbf{X}+\mathbf{\alpha }\mathbf{I}{)}^{\ast }$$
如此，多重共线性就被控制住了：最小二乘法一定有解，并且这个解可以通过来$\alpha$进行调节，以确保不会偏离太多。当然，$\alpha$挤占了$\omega$中由原始的特征矩阵贡献的空间，因此如果$\alpha$太大，也会导致$\omega$的估计出现较大的偏移，无法正确拟合数据的真实面貌。所以，使用中需要找出让模型效果变好的最佳$\alpha$值。