中缀表达式的求值问题

表达式的求值问题（堆栈）

0. 解决目标

将形如2*(9+6/3-5)+4表达式求值的思想

1. 后缀表达式的求值

形如的表达式如何求值？
（翻译成中缀表达式为：6/2-3+4*2，我们不进行中缀表达式的翻译操作，只是为了方便理解中间的过程）
从左向右“扫描”，逐个处理运算数和运算符号

1. 遇到运算数怎么办？如何“记住”目前还不未参与运算的数？

2. 遇到运算符号怎么办？对应的运算数是什么？
   
   下图是一种解决办法。
   
   这里使用一种结构，由于长得像先称之为“槽”，这种槽有什么特点？

   1.只能存放数字
   2.存放的数字只能后面进来的先出
   这里有个问题，如果是符号怎么办呢？
   我们提供一种解决办法，如果遇到符号，则将槽最顶部的数字与前一个数字从槽中拿出，进行操作，操作为：

   1.前一个数字 运算符 槽最顶部的数字
   2.并讲运算结果 再放入槽中
   3.直至所有东西都按从左到右的顺序 尝试进入槽中，便得到结果。

这种能够解决后缀表达式的求值问题的结构——“槽”，就是堆栈。它是一种线性存储结构，后入先出。
我们用堆栈解决了后缀表达式的求值问题，那么问题来了，如何将中缀表达式转换成后缀表达式呢？
##2. 中缀化后缀

目标：将形如2*(6/3+4)-5的中缀表达式化成 2 6 3 / 4 + * 5 -的后缀表达式

带括号的表达式看起来比较复杂，我们先看没有括号的转换。

小目标：将形如2+9/3-5的中缀表达式化成2 9 3 / + 5 - 的后缀表达式

构造一种堆栈，只能存放符号，同样遵循后入先出的原则。
有两个问题

1.遇到数字怎么办？
2.堆栈中的符号怎么处理？

第一个问题很简单，输出即可，因为我们只需要求表达式，并不需要同时计算。
第二个问题，因为符号有优先级，当将符号放入堆栈时，比较其与前一个符号的优先级，若低于，则先输出前一个运算符。这个也很好理解，高优先级的运算先进行。
解决过程如下图所示。

那如果带括号要怎么解决呢？问题有：

1.括号也算一种符号，但括号不参与运算，
2.括号提供一种优先级，括号里面的运算优先级最高

第一个问题，我们在后缀表达式转换成值的时候是直接进行操作的，利用顺序已经将括号的功能包括进去，但只是不显示括号而已。具体解决是在一对括号齐全时，将其中的运算符输出。
第二个问题，我么将括号放入堆栈之前认为其优先级最高，在放入堆栈之后，将其认为优先级最低，即只进行括号里面的优先级比较（忽略括号）。
解决过程如下图。

总结中缀表达式转化成后缀表达式的方法如下：

按照 步骤2->1->0 完成目标

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学习自《数据结构：陈越》之线性结构