网格变形之拉普拉斯坐标

网格变形—Laplacian坐标

原文地址：
https://blog.csdn.net/hjimce/article/details/46415239

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1.Laplacian坐标的概述

拉普拉斯网格变形的本质是网格模型局部细节特征的编码和解码的过程。编码过程是指网格顶点的欧氏空间坐标到Laplacian坐标的转换，Laplacian坐标包含了网格的局部细节特征，能够较好地保持网格模型的局部细节。解码过程是指通过微分坐标反求欧氏空间坐标，实质上是一个求解线性系统的过程。因此Laplacian坐标高效、鲁棒。

网格的变形是基于离散的拉普拉斯坐标。

2.Laplacian算子

3.Laplacian坐标

给定具有n个顶点的三角网格模型M=(V,E,F),V为顶点集，E为边集，F为三角面片集合。设v1,…vn为点集V中的点，对于每个顶点vi，用传统的笛卡尔坐标表示，记vi=(xi,yi,zi)；用N(i)={j|(i,j)∈E}，表示vi点的所有邻域顶点构成的集合，下图定义了vi点的Laplacian坐标。

δi为顶点vi的拉普拉斯坐标，L(·)为网格的拉普拉斯算子，ωij为vj点相对于vi点的权值，且∑ωij=1。

目前常用的权值包括均匀权值、余切权值、正切权值、弹簧权值等。对于均匀权值计算，每个点vj的权值ωij都均等，由于这种权值只是简单的平均，故又称为均匀权值，采用该权值进行网格变形时，所获得的精度较低。

di为顶点vi的度(邻接顶点的个数)

4.Laplacian坐标的性质

• 平移

  若t是平移变换量，则
  

• 旋转

  若R是旋转变换矩阵，则
  

• 缩放