算术表达式求值（四则运算）

为了简化问题，关注算法，本文的讨论基于以下三点：

1. 只考虑 + - * / ( ) 这几个基本运算符，且是二元操作

2. 运算数只考虑 0-9，这10个简单的数，方便从string中取出来

3. 输入的表达式没有语法错误

 

【背景知识】

中缀表示法（Infix expression）：操作符位于两个操作数中间，算术表达式的常规表示法。只用于二元操作符的情况，而且需要用括号和优先规则排除多义性。(A+B)*C-D/(E+F)

前缀表示法（Prefix expression）：也叫波兰表示法，操作符写在操作数的前面。这种方法常用于编译器设计方面。-*+ABC/D+EF

后缀表示法（Postfix expression），逆波兰表示法，操作符位于操作数后面。这种方法使表达式求值很方便。AB+C*DEF+/-

 

前、后缀表示法的三个特征：

1. 操作数的顺序与等价的中缀表示法中操作数的顺序一致

2. 不需要括号

3. 操作符的优先级不相关

 

用二叉树来表示更直观，前、中、后缀表示法分别对应前序、中序、后序遍历得到的结果。

 

 

【算符优先法】

输入中缀表达式，直接求值。首先了解四则运算的规则：

（1） 先乘除，后加减

（2） 从左到右

（3） 先括号内，后括号外

 

根据以上3条规则，在运算的每一步，任意两个相继出现的算符optr1和optr2之间的优先关系有3种：

>：optr1的优先权高于optr2

=：optr1的优先权等于optr2

<：optr1的优先权低于optr2

下表定义了算符之间的优先级。竖：optr1，横：optr2。

 

	+	-	*	/	(	)	#
+	>	>	<	<	<	>	>
-	>	>	<	<	<	>	>
*	>	>	>	>	<	>	>
/	>	>	>	>	<	>	>
(	<	<	<	<	<	=
)	>	>	>	>		>	>
#	<	<	<	<	<		=

 

在表达式的两头，分别加个#符号，当##配对时，代表求值完成。

由规则（1），+ - 比* / 的优先权低；由规则（2），当optr1=optr2时，令optr1 > optr2；由规则（3），optr1为+ - * / 时的优先级低于 ( 高于 ) ，当optr1为 ( 时，优先级最低，optr1为 ) 时，优先级最高。

 

算法实现：使用两个栈，分别存放操作符和操作数。

1）置操作数栈为空，起始符#入运算符栈。

2）依次读入表达式中的每个字符，如是操作数，入操作数栈；如是运算符，和运算符栈顶符号比较优先权。直到表达式求值完毕，即##配对。

bool IsOperator(char ch) { if (ch == '+' || ch == '-' || ch == '*' || ch == '/' || ch == '(' || ch == ')' || ch == '#') return true; else return false; } //运算符的优先关系 //'+', '-', '*', '/', '(', ')', '#' char OprRelation[7][7] = {{'>', '>', '<', '<', '<', '>', '>'}, //'+' {'>', '>', '<', '<', '<', '>', '>'}, //'-' {'>', '>', '>', '>', '<', '>', '>'}, //'*' {'>', '>', '>', '>', '<', '>', '>'}, //'/' {'<', '<', '<', '<', '<', '=', ' '}, //'(' {'>', '>', '>', '>', ' ', '>', '>'}, //')' {'<', '<', '<', '<', '<', ' ', '='}};//'#' int ConvertToIndex(char opr) { int index; switch (opr) { case '+': index = 0; break; case '-': index = 1; break; case '*': index = 2; break; case '/': index = 3; break; case '(': index = 4; break; case ')': index = 5; break; case '#': index = 6; break; } return index; } char Precede(char opr1, char opr2) { int index1 = ConvertToIndex(opr1); int index2 = ConvertToIndex(opr2); return OprRelation[index1][index2]; } int Operate(int opnd1, char op, int opnd2) { int ret; switch(op) { case '+': ret = opnd1 + opnd2; break; case '-': ret = opnd1 - opnd2; break; case '*': ret = opnd1 * opnd2; break; case '/': ret = opnd1 / opnd2; break; } return ret; } //算符优先算法 int CaculateExpression(string exp) { stack optr; //只处理+ - # / ()运算 stack opnd; //只处理0-9的整数运算 char ch; int i = 0; exp += "#"; optr.push('#'); ch = exp[i++]; //如果##配对，表达式求值完成 while (ch != '#' || optr.top() != '#') { if (!IsOperator(ch)) { //操作数入栈 opnd.push(ch - '0'); ch = exp[i++]; } else { //比较栈顶操作符和新取得的操作符的优先关系 switch (Precede(optr.top(), ch)) { case '<'://栈顶优先权低 optr.push(ch); ch = exp[i++]; break; case '='://括号配对，栈顶括号弹出 optr.pop(); ch = exp[i++]; break; case '>'://栈顶优先权高，先弹出，计算，结果操作数入栈 char op = optr.top(); optr.pop(); int num2 = opnd.top();//第二个操作数在前 opnd.pop(); int num1 = opnd.top(); opnd.pop(); int ret = Operate(num1, op, num2); opnd.push(ret); break; } } }//end of while //操作数栈的唯一元素即为计算结果 return opnd.top(); }

 

【前缀->后缀表达式】

1）操作符栈为空，结果字符串为空。

2）依次读入中缀表达式的每个字符

-如是操作数，添加到结果字符串

-如是左括号，入操作符栈

-如是右括号，弹出栈内符号，添加到结果字符串，直到遇到栈内的左括号。弹出左括号。

-如是操作符，弹出栈内符号，添加懂啊结果字符串，直到遇到左括号，或优先级较低的操作符，或统一优先级的右结合符号。此操作符入栈

3）如到达字符串末尾，弹出所有栈内符号，添加到结果字符串

bool Prior(char optr1, char optr2) { bool prior = false; if (optr1 == '*' || optr1 == '/') if (optr2 == '+' || optr2 == '-') prior = true; return prior; } //前缀表达式->后缀表达式 string PrefixToPostFix(string exp) { string postRet; stack optr; int i = 0; char ch; while(i < exp.length()) { ch = exp[i++]; if (IsOperator(ch)) { switch(ch) { case '(': optr.push(ch); break; case ')': //将栈中最近的一个左括号之上的操作符全部弹出，添加到结果 while(optr.top() != '(') { postRet += optr.top(); optr.pop(); } optr.pop();//丢弃左括号 break; case '+': case '-': case '*': case '/': //弹出操作符，直到栈为空，或遇到左括号，或优先级较低的操作符 //或者统一优先级的右结合操作符 while (!optr.empty() && Prior(optr.top(), ch)) { postRet += optr.top(); optr.pop(); } optr.push(ch); break; } } else { postRet += ch; } } //到达字符串末尾，弹出所有操作符，添加到结果 while(!optr.empty()) { postRet += optr.top(); optr.pop(); } return postRet; }

 

【后缀表达式求值】

1）初始化操作数栈

2）从左到右依次读入后缀表达式的每个字符，如是操作数，入栈；如是操作符，弹出两个操作数，计算，结果入栈，直到表达式末尾。栈中的唯一数即是结果。注意弹出的第一个操作数是位于运算符右边的数。

//前缀表达式->后缀表达式，再求值 int CaculateExpression_2(string postExp) { //先转换成后缀表达式 string exp = PrefixToPostFix(postExp); stack opnd; int i = 0; char ch; while(i < exp.length()) { ch = exp[i++]; if(IsOperator(ch)) { int num2 = opnd.top(); opnd.pop(); int num1 = opnd.top(); opnd.pop(); //计算结果并入栈 int ret = Operate(num1, ch, num2); opnd.push(ret); } else { //操作数入栈 opnd.push(ch - '0'); } } return opnd.top(); }

 

【二叉树法】

可以根据前缀表达式，构造出二叉树，后序遍历即得到后缀表达式。

 

【手动方法】

(A+B)*C-D/(E+F)

1）按照运算符优先级对所有运算单位加括号。(((A+B)*C）-(D/(E+F)))

2）前缀：把运算符移动到对应的括号前面：-(*(+(AB)C)/(D+(EF)))，再去掉括号：-*+ABC/D+EF

3）后缀：把运算符移动到对应的括号后面：(((AB)+C)*(D(EF)+)/)-，再去掉括号：AB+C*DEF+/-