正数的算术平均值不小于几何平均值的一个初等证明

正数的算术平均值不小于几何平均值的一个初等证明

最近用到数学比较多，才发现自己的数学推导能力严重退化了。这么个简单的问题，花了我好几天时间才证明出来。这里把推导过程记录一下，顺便试试CSDN markdown编辑器对数学公式的支持怎么样。
n 个不小于0的数字 x1,x2,...,xn 的算术平均值定义为：

M=∑n1xin

几何平均值定义为：

G=(∏1nxi)1/n

那么有一个基本的结论：

M≥G

下面给出一个采用数学归纳法的初等的证明方法。

首先，我们假设 x1,x2,...,xn 这一串数字是从小到大排列的。（对于任何的一串数字，我们总可以这么人为的给它排列一下）

当 n=1 时该不等式明显成立。
假设当 n=k 时也成立。
那么当 n=k+1 时。
设

Mk+1=∑k+11xik+1

则有一个基本关系下面会用到：

(Mk+1−x1)(xk+1−Mk+1)≥0

略加变型就得到：

(x1+xk+1−Mk+1)Mk+1≥x1xk+1

对于原数列，我们将 xk+1 调整到 Mk+1 ，为了保证算术平均值不变， x1 相应的调整为 x1+xk+1−Mk+1 。则这个新数列为：

(x1+xk+1−Mk+1),x2,...,xk,Mk+1

这个数列有一个特点，那就是平均值为 Mk+1 ，它的前 k 个元素的子列的平均值也是 Mk+1 。
前 k 个元素的子列为：

(x1+xk+1−Mk+1)，x2，...,xk

由我们的假设，可知：

(x1+xk+1−Mk+1)∗x2∗...∗xk≤(Mk+1)k

两边乘以 Mk+1 ，就有：

(x1+xk+1−Mk+1)∗x2∗...∗xk∗Mk+1≤(Mk+1)k+1

利用前面得到的关系式：

(x1+xk+1−Mk+1)Mk+1≥x1xk+1

(Mk+1)k+1≥(x1+xk+1−Mk+1)∗x2∗...∗xk∗Mk+1≥x1∗x2∗...∗xk∗xk+1=(Gk+1)k+1

所以：

Mk+1≥Gk+1