滤波器设计（3）：维纳（Wiener）滤波器的设计
引言
通信领域中，当然完全不止通信领域，一个很常见的需求就是，从含有噪声，或是已经畸变的信号中，
提取出或恢复出原始的、有用的信号。怎么做？可以用滤波器（Filter）。滤波器的变量（输入）是信号，
信号又是时间or空间or时间空间or…的函数。于是，函数的函数——泛函。至今，我没有学过，唉……
一定要抽时间学一下“泛函分析”……%>_<%
关于滤波器的设计，在大学本科开设的“电路原理”、“模拟电子技术基础”、“信号与系统”等课程中，或多或少
要涉及一点，但好像基本上都是一些经典滤波器。比如LPF、HPF，……，IIR、FIR……
前面的文章里，有一些对IIR、FIR滤波器的回顾。
Review： IIR滤波器的设计
Review： FIR滤波器的设计
对于滤波效果的评判标准有很多，这个问题没有标准答案。
客观而言，均方误差最小，均方离差（绝对误差）最小等。
主观而言，看起来效果变好了？听起来效果变好了？
其实，就连听起来效果变好了，这种话也是非常非常非常不严格的。
比如，有些人就喜欢重低音的鼓点，有些人就是喜欢清晰的人声。
所以，实际效果还真的就是因人而异了。
实际上（“实际上”，“事实上”的意思，就是提醒读者注意，后面即将要出现重要的内容了！），
在平均平方误差（mean square error）的意义下，经典滤波器常常不能达到“最优”。
所以，更进一步，用现代滤波器做信号处理。但是，通常，这是以“先要知道信号的一些统计特性”为代价的。
于是，维纳（Wiener）滤波器，闪亮登场。其实，在学维纳滤波器之前，应该先有一些随机过程的基本概念。
维纳滤波器简介
以下摘自百度百科。
维纳滤波器（Wiener filter）是由数学家维纳（Rorbert Wiener）提出的一种以最小平方为最优准则的线性滤波器。在一定的约束条件
下，其输出与一给定函数（通常称为期望输出）的差的平方达到最小，通过数学运算最终可变为一个托布利兹方程的求解问题。维纳滤波器又被称为最小二乘滤波器或最小平方滤波器，目前是基本的滤波方法之一。维纳滤波是利用平稳随机过程
的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法，1942年美国科学家N.维纳为解决对空射击的控制问题所建立，是40年代在线性滤波理论方面所取得的最重要的成果。
更加详细的信息可参考百度百科的词条 维纳滤波器。
另外，维纳滤波器应该是一个FIR滤波器。
自适应滤波器（adaptive filter）基本框图如下。
自适应滤波器后面会讲。跟自适应滤波器不同的地方就是，维纳滤波器好像是没有反馈的吧……
所以维纳滤波器的框图，就是把下图的反馈环路去掉，同时滤波器的系数不可变。自适应的是可以通过反馈回来的e进行系数调整。
x是滤波器的输入，y是滤波器的输出。输出与一个参考信号（期望信号）d作差，得到误差信号e。
注意事项
刚开始接触这一类滤波器的时候，我总是不知道这个参考信号d是什么情况。
有些书上会把d说出期望信号。我就在想，既然都能知道所期待的输出信号是什么了，为什么还要去滤波？
这不简直就是“脱了裤子放屁——多此一举”吗？
我相信有很多人跟我一样，初学的时候会觉得真的很奇怪。
有些书根本就回避了这个至关重要的问题。我只能说，也许作者是真的很懂，以至于不知道我们这些初学者什么不懂。好惨。
其实，这里面好像是有个“训练”，或者叫“预先测试”的过程。我把它叫A阶段，同时，把真正工作的阶段叫B阶段。
在预先测试的过程中，要做的工作是去求滤波器的系数w；而一旦预先测试过程结束，滤波器真正开始工作了，其系数就不改变了。
以我现在的认知水平，维纳滤波器的逻辑是这样的。
1. 在预先测试的过程中，期望信号d是可以知道的。x是可以获取的。因此，可以求出滤波器的系数w。
2. 在后来真正运行的过程中，就拿着这个w，去处理可以获取的x。x可能是含噪信号，可能是畸变信号，等等。
处理后，会输出y。这就是处理过后的信号，也许是滤除噪声的，也许是信道均衡后的，也许是恢复过后的，等等。
一个例子
假设现在在一个很吵的环境中，要用话筒录音，那不可避免会录入噪声。如何去除噪声？
除了用经典滤波器外呢，如果要求用维纳滤波器呢？
我个人的做法会是这样。
A. 预先测试过程
1. 找一段所谓的干净的语音，作为d。假设就是在安静的录音棚里录下来的。先准备着。
2. 播放干净的d，用话筒把它录音，录下来。因为有了噪声，所以变成了含噪信号x。我也拿到了。
3. 用x和d，去计算滤波器系数w。
B. 真正录音阶段
1. 演员登场，真正的录音开始了。这是能够录到含噪信号x。
2. 用A阶段得到的w，去处理这时录到的x。此时，应该说，输出的y，就是降噪以后的信号了。
当然，感觉上，A阶段所准备的干净语音，如果就是B阶段中，真正要说话的那个人的声音，按理说，效果可能会好一些。
基本原理
原理的话，就是希望在A阶段，找一组滤波器系数w，让滤波器的输出y和期望信号d之间的均方误差最小。
后来均方误差是关于w的一个二次型，所谓的二次曲面，有唯一的极小值，同时也是最小值。
然后就是一堆求偏导数，求最值。同时，令各个偏导导函数为0，求出驻点，也是极值点，也是最小值所在的自变量w所在的位置。
利用随机过程里的一些式子，再假定什么x宽平稳，再用相关函数的定义之类的一些东西，
从而得到一个Wiener-Hoff方程。（Ax = b类型的非齐次线性方程组，此x非上文的x。单纯是线性代数中的Ax=b那个x）
方程中的A，是收集到的，待处理信号x的自相关阵，也是一个Hermitian对称阵，还是一个托普利兹（
Toeplitz）矩阵。如果x是实信号，那就是对称矩阵。半正定，等等性质。
方程中的x，是要求的维纳滤波器的系数w。
方程中的b，就是要求的期望信号d和待处理信号x之间的互相关阵。
最后，算这个方程就是了。
至于，w阶数取多少，这个嘛，我反正目前只知道，“试”。trail and error。
下面摘了一些资料过来。
扩展应用
后面会有维纳滤波器的实例代码。今天就写这么多。